重难点专题10 导数与不等式恒成立九大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总 题型1直接求导型 1 题型2端点赋值法 2 题型3 隐零点型 3 题型4分离参数法 5 题型5分离参数法-洛必达法则 6 题型6构造辅助函数求参 6 题型7绝对值同构求参 7 题型8函数取“整”型 9 题型9“存在”成立问题 10 题型1直接求导型 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；； 【例题1】（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数，．其中 (1)求函数在点处的切线方程； (2)若，且，恒成立，求的取值范围． 【变式1-1】1. （2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 【变式1-1】2. （2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数，且. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围. 【变式1-1】3. （2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数， (1)若函数，讨论当时函数的单调性； (2)若函数恒成立，求的取值范围. 【变式1-1】4. （2023秋·云南保山·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 题型2端点赋值法 1．端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用） 2．为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围．注意，开区间不一定是充分条件． 有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论． 【例题2】（2022·河南郑州·统考一模）设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设函数对任意都有成立，求的取值范围. 【变式2-1】1. （2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知函数． (1)若是的极值点，求的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【变式2-1】2. （2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设函数，已知直线是曲线的一条切线． (1)求实数a的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式2-1】3. （2023春·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数．（a，b为实数） (1)当时，求过点的图象的切线方程； (2)设，若恒成立，求b的取值范围． 【变式2-1】4. （2023·四川成都·校联考二模）已知函数在处的切线与轴垂直．（其中是自然对数的底数） (1)设，，当时，求证：函数在上的图象恒在函数的图象的上方； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型3 隐零点型 1．导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解．但得到参数和的等量代换关系．备用 2.知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根 3.利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围． 4.再代入参数和互化式中求得参数范围． 【例题3】（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直． (1)求实数a的值； (2)若存在，使得恒成立，求实数k的最大值． 【变式3-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若当时，，求的取值范围． (3)若存在实数、，使得恒成立，求的最小值． 【变式3-1】2. （2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性， (2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：） 【变式3-1】3. （2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 题型4分离参数法 【例题4】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数（e为自然对数的底数）. (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求证：实数. 【变式4-1】1. （2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数. (1)若是函数的极值点，求m的值； (2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【变式4-1】2. （2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值. 【变式4-1】3. （2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求的最小值. 【变式4-1】4. （2023·江西·校联考模拟预测）设函数； (1)若恒成立，求实