重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题13导数与三角函数结合的解答题 题型1分段分析法 1 题型2放缩法 2 题型1分段分析法 【例题1】（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【变式1-1】1. （2020春·福建福州·高三统考阶段练习）已知函数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点. 【变式1-1】2. （2019秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数. （1）证明：，； （2）判断的零点个数，并给出证明过程. 【变式1-1】3. （2021·甘肃平凉·静宁县第一中学校考模拟预测）已知函数f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）． （1）若a＝1，求证：当x∈（1，）时，f（x）＜2x﹣1； （2）若f（x）在（0，2π）上有且仅有1个极值点，求a的取值范围． 【变式1-1】4. （2021·天津和平·耀华中学校考一模）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （3）讨论函数在上零点的个数. 【变式1-1】5. （2021秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数. （1）当时，求零点的个数； （2）当时，求极值点的个数. 【变式1-1】6. （2020秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）已知函数，，. （1）若函数在处的切线斜率为，求的值； （2）若任意，恒成立，求的取值范围. 【变式1-1】7. （2021·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈ （1）证明∶关于x的方程f(x)-g(x)=x在上有且仅有一个实数根； （2）当x∈时，f(x)≥ag(x)，求实数a的最大值. 题型2放缩法 【例题2】（2022秋·河南·高三统考阶段练习）已知函数. (1)设且，求函数的最小值； (2)当，证明：. 【变式2-1】1. （2022秋·北京昌平·高三校考阶段练习）已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 【变式2-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数． （1）试讨论的极值点； （2）①若，证明：当时，恒成立； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【变式2-1】3. （2021秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数（）（其中为自然对数的底数）. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若，证明对于任意的恒成立. 【变式2-1】4. （2020秋·河南·高三校联考阶段练习）（1）当时，求证：； （2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围； （3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且. 【变式2-1】5. （2020·江西·校联考模拟预测）已知函数，（且，e是自然对数的底数）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 1. （2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知. （1）当有两个零点时，求a的取值范围； （2）当，时，设，求证：. 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 5．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 重难点专题13导数与三角函数结合的解答题 题型1分段分析法 1 题型2放缩法 15 题型1分段分析法 【例题1】（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为：且 令， ， 在上单调递减，在上单调递减 在上单调递减 又， ，使得 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减 则为唯一的极大值点 即：在区间上存在唯