重难点专题12 导数解答题之指对函数五大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总 题型1指数找基友 1 题型2对数单身狗 2 题型3指对互化 4 题型4指对分离与不分离 6 题型5凹凸翻转 7 在指数加减x整式或者对数乘除x整式或者在指数和对数同时出现的情形下，我们处理时往往本着对数单身狗，指数找基友的思想方法，本质就是通过这样的转换可以让求导变少，避开长篇分类讨论 题型1指数找基友 指数找基友：在处理不等式和零点问题时，如果指数部分+x整式有可能连续求导，甚至要用到隐零点，比较复杂，此时，我们只需把所有x的式子和ex变换到一起，一般可以同除整式，或者同除ex部分，构造一个新函数，例如ex-ax>0我们可以化成ex>ax,进一步化成a=ex/x，构造函数f（x）=ex/x;再例如当x>0时求证：(2-x)ex≤x+2，我们可以化作ex (2-x)/(x+2)≤1,然后构造函数f(x)=ex (2-x)/(2+x),证明其≤1即可，通过观察，不难发现，ex和所有含有x的式子变换到一起了，我们形象地称之为，指数找基友 【例题1】（2022秋·山东滨州·高三校联考期中）已知，. （1）求在处的切线方程； （2）若，证明在上单调递增； （3）设对任意，成立求实数k的取值范围. 【变式1-1】1. （2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数． （1）当时，证明：在上为减函数． （2）当时，，求实数的取值范围． 【变式1-1】2. （2021·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）已知函数. （1）证明：函数有三个零点； （2）若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，曲线在点的切线与轴平行，是的导函数． (1)求的值及当时，函数的单调区间； (2)设对于任意，证明． 【变式1-1】4. （2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求函数的最小值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围､ 题型2对数单身狗 对数单身狗：如果对数式乘以或者除以一个关于x的整式，把整式提出，然后分别对局部分析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)-2x,如果要证明x>0时y>0,我们便可把2+x提出来，使之变成y=(2+x)(ln(x+1)-分别分析2+x和ln(x+1)- 就可以了，这个过程使ln(x+1)系数不含x整式，我们形象地称之为对数单身狗，再求导就容易多了 【例题2】（2022秋·宁夏银川·高三校考开学考试）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意，求证： 【变式2-1】1. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式2-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）讨论关于的方程的实根的个数. 【变式2-1】3. （2022·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考模拟预测）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若关于x的不等式在上恒成立，求a的最小值. 【变式2-1】4. （2021秋·浙江杭州·高三校联考期中）已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且. (1)求的取值范围； (2)（i）证明：； （ii）证明：. 题型3指对互化 指对互化与同构： 1. 所谓指对互化，如下：,， 指对互化是指对同构的基础， 2.常见类型： ①乘积，如,构造方法如下： 构造方法 构造的函数 与左侧一致： 与右侧一致： 对数化： ②商，如, 构造方法如下： 构造方法 构造的函数 与左侧一致： 与右侧一致：, 对数化： ③和差，如 构造方法 构造的函数 与左侧一致： 与右侧一致：, 【例题3】（2022秋·黑龙江·高三开学考试）已知函数． （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）． 【变式3-1】1. （2021秋·广东深圳·高三深圳市龙岗区龙城高级中学校考阶段练习）已知函数，其中，． （1）讨论函数在区间，上的单调性； （2）求证：． 【变式3-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：是自然对数的底数）． 【变式3-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数．（注 (1)若是函数的一个极值点，求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【变式3-1】4. （2022·