重庆市2024届高三上学期9月联考数学试题

重庆市高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若数列的通项公式为，则（ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 数列是首项为，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 数列是首项为，公比为的等比数列 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 40 5. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. D. 的图像关于点对称 10. 有一组样本数据，，…，，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差 D. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的分位数小于原数据的分位数 11. 已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ） A. 不是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数 C. 是奇函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 12. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点到直线的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 三棱锥外接球球心到平面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为__________． 14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________． 15. 已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________． 16. 已知，则当取得最大值时，__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在正方体中，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值的平方． 18. 在中，，． （1）若，求的长； （2）若，为延长线上一点，为边上一点，且，，求的面积． 19. 艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为）和一个人（记为）各提出一个问题，并根据机器和人的作答来判断谁是机器，若机器能让至少一半的测试者产生误判，则机器通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有的可能性会向和问同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器被误判的可能性为，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器被误判的可能性为． （1）当回答一名测试者的问题时，求机器被误判的概率； （2）按现有设置程序，求机器通过本轮图灵测试的概率． 20. 已知为数列的前项和，，． （1）证明：． （2）求的通项公式． （3）若，求