湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市第一中学2023-2024学年度高二第一学期入学考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（　 　） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（　 　） A． B． C． D． 3．设，，则“”是“”的（　 　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 5．已知，且，，则（　 　） A． B． C． D． 6．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（　 　） A． B． C． D．3 7．在△ABC中，，则这个三角形一定是（　 　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．已知，，，则的最小值为（　 　） A．7 B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（　 　） A．1829周岁人群参保总费用最少 B．30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20% C．54周岁以上的参保人数最少 D．丁险种更受参保人青睐 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则（　 　） A． B．B1G⊥平面BEF C．直线AB交平面EFC于点P，则AP=AB D．点A1到平面BEF的距离为 11．下列各式中，值为的是（　 　） A． B． C． D． 12．若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（　 　） A． B．，，的最大值为4 C．的单调递增区间为， D．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数k的取值范围为（，1） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知，则的值为_________． 14．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则的最大值为_________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_________． 16．已知△ABC的边AC=，且，则△ABC的面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数． （1）若，求在的单调区间； （2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围． 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1=AB=2． （1）求证：AB1∥平面C1BD； （2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为，求四棱锥B-AA1C1D的体积． 19．（本小题满分12分） 某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上（包括50分，满分100分）共有100人，分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到0.1）； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70）的概率． 20．（本小题满分12分） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知，． （1）求△ABC的面积； （2）若，求c． 21．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点． （1）求证：AM⊥平面QCD； （2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 22．（本小题满分12分） 已知函数（）的图象经过点（1，0）和点（e，1），． （1）