1.2.4二面角课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1．2.4　二面角 葫芦岛市第一高级中学 数学组 一定牢记本节的学习目标哦！ 1、能用向量语言表述二面角 2、能用向量方法解决二面角问题，体会向量法在立体几何问题中的作用 1．定义：从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形称为二面角，如图． 2．范围：二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为 直二面角 ． 一、二面角 二　空间向量与二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝ 〈n1，n2〉 或 θ＝π－〈n1，n2〉 ，如图． 特别地sin θ＝ sin 〈n1，n2〉 ． 思考一下！！ 二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相同的吗？ 不相同． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二面角α­l­β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉． (　　) (2)平面α与平面β的所成角为θ，则θ＝α­l­β. 一起来个小例题吧！ 1、如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图②. (1)求证：BC⊥平面DEC； (2)求二面角C­BF­E的余弦值． 再来巩固一下哦 6、如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1. (1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN； (2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． THANK YOU 答案：(1)×　(2)× 2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为 (　　) A． eq \f(\r(15),6) 　　　　　　　　 B．－ eq \f(\r(15),6) C． eq \f(\r(15),3) D． eq \f(\r(15),6) 或－ eq \f(\r(15),6) 解析：∵ eq \f(（0，－1，3）·（2，2，4）,\r(1＋9)·\r(4＋4＋16)) ＝ eq \f(\r(15),6) ，∴这个二面角的余弦值为 eq \f(\r(15),6) 或－ eq \f(\r(15),6) . 答案：D 3．如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，则二面角A­BC­O的余弦值为________． 答案： eq \f(\r(3),3) [解]　(1)证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E， ∴DE⊥平面ABCE， 又∵BC⊂平面ABCE，∴DE⊥BC， 又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC. (2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz， ∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)， D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)， 设平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 由eq \o(EF,\s\up17(―→))＝(1，0，1)，eq \o(EB,\s\up17(―→))＝(2，2，0)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋z1＝0，,2x1＋2y1＝0，)) ∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝(1，－1，－1)， 设平面BCF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 由eq \o(CF,\s\up17(―→))＝(1，－2，1)，eq \o(CB,\s\up17(―→))＝(2，0，0)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,x2－2y2＋z2＝0，)) 取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝(0，1，2)， 设二面角C­BF­E的大小为α， 由图可知，α为锐角，则cos α＝ eq \f(|n1·n2|,|n1|·|n2|) ＝ eq \f(|－1－2|,\r(5)×\r(3)) ＝ eq \f(\r(15),5) . 2．如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝ eq \f(\r(3),2) a，则二面角A­BC­D的大小为 (　　) A．30° B．45°