湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学检测数学试题

雅礼中学2023年下学期入学检测试题 高二数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则且是且成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 5. 已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…，的平均数和方差分别是（ ） A. 12，115 B. 12，224 C. 9，115 D. 9，224 6. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ） A. 15名 B. 20名 C. 25名 D. 40名 7. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件满足，则是对立事件 12. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点B到平面距离相等 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人. 14. 在平行六面体中，°，则=___________． 15. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________． 16. 如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式及对称中心； （2）先将图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值. 18. 如图，在正方体中，分别是棱中点. （1）求证：； （2）若点分别上，且.求证：； （3）棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; （2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 20. 如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，中点，，. （1）求证：，，，