第5章 5.2.3 简单复合函数的导数-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

5．2.3　简单复合函数的导数 学业标准 素养目标 1．了解复合函数的概念．(易混点) 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点) 1．通过复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养． [教材梳理] 导学　复合函数的导数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sin . 　这两个函数是复合函数吗？ [提示]　是复合函数． 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． [提示]　令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2. 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3. 　观察问题3中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x). ◎结论形成 复合函数 (1)概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)求导法则 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin (πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)f(x)＝ln (3x－1)则f ′(x)＝.(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x.(　　) (4)函数f(x)＝，则函数f(x)在x＝4处切线的斜率为.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝的导数是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－. 答案　C 3．下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝ sin D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2 解析　A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正确． 答案　D 4．(2023·徐州期末)已知函数f(x)＝sin 2x，则 (　　) A． B．1 C． D． 解析　由导数的定义可知 ＝f′，又f′(x)＝2cos 2x，故f′＝2cos ＝1，故选B. 答案　B 题型一　复合函数的导数 　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin x； (3)y＝sin ；(4)y＝5log2(2x＋1). [自主解答]　(1)设y＝u，u＝1－2x2， 则y′＝(u)′(1－2x2)′＝u－·(－4x) ＝(1－2x2)－ (－4x)＝. (2)设y＝eu，u＝sin x，则y′x＝y′u·u′x＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos . (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. [规律方法]　 复合函数的求导步骤 [触类旁通] 1．求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x. 解析　(1)令u＝2x－1，则y＝u4， ∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3. (3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos4x)＝＋ cos 4x. 所以y′＝′＝－sin 4x. 题型二　复合函数与导数的运算法则的综合应用 　求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝x cos sin . [自主解答]　 (1)y′＝(x)′ ＝x′＋x()′ ＝＋＝. (2)∵y＝x cos sin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4＝－sin 4x－2x cos