第3章 3.1.1 椭圆的标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(课时作业)

学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 /课后案学业评价·层级训练 /务基·是技使·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.(2022潍坊高二月考)若点M到两定点F(0,一1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点 M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.线段的中垂线 解析F(0,一1)，F20,1),.FF2=2,又点M到两定点F(0,-1),F2(0,1)的 距离之和为2，.点M的轨迹是线段FF2 答案C 2.已知椭圆4x2十2=4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(） A.1 B.2 C.3 D.4 解析将椭圆方程化为标准方程为x2+y24k=1, 又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k一1=1，解得k=2 答案B 3.设P是椭圆x216十y212=1上一点，P到两焦点F1,F2的距离之差为2，则△PFF2 是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析根据椭圆的定义知PF1十PF2=8 不妨假设PF>PF2,则由题意得PF1-PF2=2,所以PF=5,PF=3 而FF2=4,所以FPF22十PF22=PF21,所以△PFF2是直角三角形，故选B 答案B 4.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离 分别为3和1，则椭圆的标准方程为 解析由题意知a十c=3,a一c=1,)解得a=2,c=1,) 则b2=a2-c2=3 故椭圆的标准方程为x24十y23=1 答案x24+y23=1 5.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(一4,0)，B(4,0),点C在椭圆x225 +y29=1上，则3nA+sin Bsin C 解析由题意知AB=8,AC+BC=10,所以smA十sin Bsin C=BC十ACAB=108=54 答案54 ·独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.已知圆M:(x十1)2+y2=1,圆W:(x一1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程 解析由已知得圆M的圆心为M(-1,O),半径n=1:圆N的圆心为N(1,0),半径 2=3 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以PM什PN=(R+n)+(n-R=n+n=4>2 由椭圆的定义可知，曲线C是以，N为左、右焦点的椭圆（左顶点除外）， 则a=2,c=1,故b2=a2-c2=4-1=3,故所求C的方程为x24+y23=1(x≠-2) [关键能力综合提升] 7.已知P为椭圆x225+y216=1上的一点，M,N分别为圆c+3)2+y2=1和圆(x一3) 2+y2=4上的点，则PM+PN的最小值为() A.5 B.7 C.13 D.15 解析由趣意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心，且PF十PF2=1O,从而 PM什PN的最小值为PF1+PF2-1-2=7. 答案B 8.(多选)下列说法中错误的是() A.已知F(一4，O),F2(4,O),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 椭圆 B.已知F1(一4，O),F(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是 椭圆 C.平面内到点F(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离 之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,O),F(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析A中，FF2=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段， 所以A错误；B中，到F1,F两点的距离之和等于6，小于FF2,这样的轨迹不存在，所 以B错误：C中，点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为(5十4)2+32+(5-4)2+32 =410>FF2=8,则其轨迹是椭圆，所以C正确：D中，轨迹应是线段F,F2的垂直平分线， 所以D错误.故选ABD 答案ABD 9.如图所示，F1,F2分别为椭圆x2a2十y2b2=1(ab>0)的左、右焦点，点P在椭圆上， △POF2是面积为3的正三角形，则b2= ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析设正三角形POF2的边长为c,则3)4c2=3, 解得c=2,从而OF3=PF2=2, 连接PF1(略)，由OF1=OF3=OP知，PF1⊥PF2, 则PF1=2222F1F-PF=42-22=23, 所以2a=PF1+PF2=23+2,即a=3+1, 所以b2=a2-c2=(3+1)2-4=23 答案23 10.己知椭圆的中心在原点，两焦点F,F2在x轴