第6章 6.2 第2课时 指数函数的图象和性质的应用(一)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册苏教版(教师用书)

#第2课时　指数函数的图象和性质的应用(一) 学业标准 素养目标 1．掌握指数函数的图象和性质． 2．会利用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域． 3．掌握指数型函数单调性的判定方法． 1．通过学习指数函数的图象和性质，培养数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过求复合函数的定义域、值域、单调性的判定提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域问题 　函数的定义域为____________． 提示：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．定义域为R. 　函数的值域为____________． 提示：设u＝x2－2x，则y＝3u， u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝3u≥3－1＝， 所以函数的值域是. ◎结论形成 y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围． 导学2　指数函数与其他函数复合所得函数的单调性问题 　函数的单调增区间为____________． 提示：令y＝3u，u＝x2－2x，由函数y＝3u，u＝x2－2x的单调性知y单调增区间为(1，＋∞). ◎结论形成 求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性. [基础自测] 1．(1)函数的定义域为{x|x≥1}．(　　) (2)函数的值域是[a，＋∞).(　　) (3)函数f(x)＝(a2＋1)x＋1在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (4)函数f(x)＝在[0，1]上的最大值与最小值之差是.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞)　　　 B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 解析　设u＝，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2. 又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝3在(0，＋∞)上是减函数．对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝3在(－∞，0)上是减函数． 所以函数y＝3的单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞). 答案　D 3．函数y＝的单调增区间为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) 解析　令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是单调减函数，又y＝是关于u(x)的单调减函数，故y＝在R上是单调增函数，故选A. 答案　A 4．函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析　令t＝，则t≥0，y＝是减函数， ∴0<y＝≤＝1. 答案　B 题型一　指数函数与其他函数复合所得函数的定义域问题 　函数y＝ 的定义域是(　　) A．[－2，＋∞)　　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] [解析]　由题意得－27≥0， 所以≥27，即≥， 又指数函数y＝为R上的单调减函数， 所以2x－1≤－3，解得x≤－1. [答案]　C [规律方法]　函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． [触类旁通]　 1．若函数的定义域为R，则a的取值范围为____________． 解析　函数的定义域为R， 所以恒成立，等价于x2－2ax＋9≥0恒成立， 即Δ＝4a2－36≤0，解得－3≤a≤3. 答案　[－3，3] 题型二　指数函数与其他函数复合所得函数的值域问题 　求下列函数的值域． (1)y＝； (2)y＝4x－2x＋1. [解析]　(1)函数的定义域为R(对一切x∈R，3x≠－1). y＝＝1－， ∵3x>0，1＋3x>1，∴0<<1， ∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴值域为(0，1). (2)函数的定义域为R， y＝(2x)2－2x＋1＝＋， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值， 同时y可以取一切大于的实数， ∴值域为. [规律方法]　指数型函数y＝af(x)值域的求法 (1)换元，t＝f(x). (2)求t＝f(x)的定义域为x∈D. (3)求t＝f(x)的值域为t∈M. (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． [触类旁通]　 2．(2022·灌云高级中学校考期末)已知函数f＝4x－2x＋1＋4，x∈，则函数y＝f的值域为(　　) A． B． C． D． 解析　函数f＝(2x)2－2×2x＋4，x∈，令2x＝t，则t＝2x在x∈上单调递增，即≤t≤2，于是有y＝t2－2t＋4＝(t－1)2