第四章 4.1.3 独立性与条件概率的关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(课时作业)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则P()＝P()·P() C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B) D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 解析　若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以选项A正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故选项B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故选项C正确；B与相互对立，不是相互独立，所以D不正确．故选ABC. 答案　ABC 2．若P(A|B)＝，P()＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又相互独立 解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝＝P(A|B)， ∴事件A与B相互独立．故选C. 答案　C 3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 答案　C 4．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是(　　) A．p1＋p2＋p3 B．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3) C．1－p1p2p3 D．p1p2p3 解析　至少有一人解决这道题的反面是“没有人解决这道题”也即“三人均没有解出此题”，此概率为(1－p1)(1－p2)(1－p3)，∴至少有一人解决这道题的概率是1－(1－p1)(1－p2)(1－p3). 答案　B 5．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝____________，P(A|B)＝ ____________． 解析　因为A，B相互独立，所以P(A∪ B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P(A|B)＝P(A)＝0.3. 答案　0.65　0.3 6．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为____________． 解析　由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝. 答案　 7．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________． 解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝. 答案　 8．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 解析　分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立， 且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用　表示， P(　　)＝P()P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示． 由于事件BC，AC和AB两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)(2022·辽宁丹东高一期末)已知事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则(　　) A．P()＝　　　 B．P(A)＝ C．P(A＋B)＝ D．P(A＋B)＝ 解析　∵事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝， ∴P()＝1－P(A)＝1－＝，故A正确； P(A)＝P(A)P()＝×＝，故B错误； P(A＋B)＝P(A)