第01讲 平面向量的概念及线性运算-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第01讲 平面向量的概念及线性运算 【考试要求】 1. 理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ． (2)零向量：长度为 的向量，记作 ． (3)单位向量：长度等于 长度的向量． (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 ． (5)相等向量：长度相等且方向 的向量． (6)相反向量：长度相等且方向 的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝ ； 结合律：(a＋b)＋c＝ 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb ①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． ②特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． ③若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ①若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． 1．(多选)下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 2．下列各式化简结果正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＋＋＝ C.＋－＝0 D.－－＝ 3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 考点一　平面向量的基本概念 例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关 D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 【对点演练1】（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【对点演练2】下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【对点演练3】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点演练1】下列说法中错误的是（    ） A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有 C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则 【对点演练2】（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 考点二 向量的线性运算 角度1向量加、减法的几何意义 例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________． 角度2 线性运算 例3 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　) A.－＋ B.－＋ C.－＋ D.－＋ 【对点演练1】设为对角线的交点，为任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b 【对点演练3】(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C