第03讲 平面向量的数量积-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第03讲　平面向量的数量积 【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 1.向量的夹角 （1）定义：已知两个 向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>； （2）范围：夹角θ的范围是 .当θ＝0时，两向量a，b ；当θ＝时，两向量a，b ，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b . 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角. 2.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ .  规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影向量： 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·； （3）运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； ③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. （1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ （1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 1. 下列判断正确的是（ ） A两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量. B向量a在向量b上的投影向量是一个向量，而向量a在向量b上的投影是一个数量. C由a·b＝0可得a＝0或b＝0. D两个向量夹角的取值范围是. 2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　) A．1 B. C．3 D．3 3．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 4．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________． 5.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量的模为　　　　.  考点一 平面向量数量积的基本运算 角度1 定义法 例1（2022·全国甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝　　　　.  【对点演练1】（2021•上海）如图正方形的边长为3，求 ． 【对点演练2】（2023山西怀仁一中模拟）已知菱形的边长为2，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【对点演练2】（2023海南海南中学校考）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C．12 D．72 角度2 坐标法 例2已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（　　） A.－3　　 　　B.－2 C.2 D.3 【对点演练1】（2023•上海）已知向量，，则 ． 【对点演练2】（2021•北京）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　． 【对点演练3】在△ABC中，C＝，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则·的最小值为　　　　.  角度3 基向量法 例3（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正中，若点满足，则__________. 【对点演练1】（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　 A． B．3 C． D．5 【对