专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是第二象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，作直线交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作直线，交轴于点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】已知抛物线的顶点为，与轴交于．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过顶点作轴于点，交直线于，点、分别在抛物线和轴上，若为，且以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于、两个不同点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值．（解此题时不用相似知识） 【变式训练2】如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D． （1）求直线BD的解析式； （2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为时，求点P的坐标； （3）如图2，直线交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当时，请探究点C到MN的距离是否为定值． 【变式训练3】如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积； ②如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 类型二、定点问题 例．如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点C，．    (1)求抛物线的解析式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点M，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标； (3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、N是抛物线对称轴上两点，． 求证：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点P． 【变式训练1】如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．    (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），若点的横坐标是，点在第二象限，平行四边形的面积是13， ①求直线的解析式； ②求点的坐标； (3)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 【变式训练2】已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．   　　   (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标． 【变式训练3】已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，且的面积为6，    (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)如图1，若，为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值； (3)如图2，过定点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线交x轴于点D，且平分，求点P的坐标； (3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．    (1)二次函数图像的对称轴为直线． ①求二次函数的表达式； ②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________； ③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 3．如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线：交直线于另一点．      (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标； (3)抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不