专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 例．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式； ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．    (1)求点C的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标； (3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，抛物线经过，两点．    (1)求此拋物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得值最小，求最小值； (3)点为轴上一动点，在拋物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．    (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标． 类型二、菱形存在性问题 例．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是直线上方拋物线上一动点，连接，和，交于点M，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标； (3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点（点在点左侧），与轴交于点．    (1)求的面积； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来． 类型三、矩形存在性问题 例．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，抛物线经过点，，．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值及此时点的坐标； (3)已知是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、正方形存在性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的对称轴方程； (2)若点满足，求点的坐标； (3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积． 【变式训