专题07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上．        (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，作轴交于点，若的面积为2，求点坐标； (3)如图2，点为抛物线的顶点，当时，在抛物线上是否存在点使是等腰三角形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式训练1】综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．      (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线的解析式； (2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积； (3)M为直线上一点，求的最小值； (4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】综合与实践 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标； (3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、等腰直角三角形存在性问题 例．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点D，交线段于点E且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线上的动点，试探究是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线解析式； (2)当，t的值为___________； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； (4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．      (1)求的长（用含的代数式表示）； (2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标； (3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为． ①求的值；②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值． 【变式训练3】如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、直角三角形存在性问题 例．如图所示，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交点．    (1)求抛物线的解折式； (2)点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值； (3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 【变式训练2】已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．   　　   (1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标． (3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式训练3】如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．