第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #4.2直线与圆锥曲线的综合问题 学业标准 素养目标 1.在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提 下，会求弦长和中点问题 通过解决直线与圆锥曲线的综合问题，提升 2.综合利用直线与圆锥曲线的位置关系，解 数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养。 决范围与最值，定点与定值问题 丫课前案必备知识·自主学习 /面教材·理新如·慕养初成 教材梳理 导学直线与圆锥曲线的综合问题 同题请你用多种方法解决下面问题： 斜率为12的直线经过抛物线x2=8y的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB 的长 [提示]解法一由题意设A1,),B,2,则对于抛物线x2=8y,焦点弦长AB =p++y2=4++2 因为抛物线x2=8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为12，所以直线AB的方程为y =12x十2，代入抛物线方程x2=8y,消去x整理得y2-6y+4=0,从而片+=6，所以4B刷 =10. 故线段AB的长为10 解法二由题意设A1,),B,).由题意得抛物线的焦点为(0,2)，故直线AB的 方程为y=12x十2，即x一2y+4=0, 由x-2y+4=0,x2=y消去y得x2-4-16=0, 则十x2=4,x2=-16,代入弦长公式4B=(1十k2)[(x1十x2)2-1x2]得AB= 10 解法三由题意知线段AB为抛物线的焦点弦，已知直线AB的斜率为12，p=4,代入 焦点弦的斜率式4B吲=21十2（由于抛物线的焦点在y轴上，因此将抛物线y2=2r对应的 焦点弦的斜率式AB引=2pas4 alcol(1+k2)中的Ik变为k可得AB=1O) ◎结论形成 1.圆锥曲线的弦及弦长公式 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲 线的弦，线段的长就是弦长，简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 线段. (2)弦长公式 设直线1与圆锥曲线C交于A,y),Bx2,)两点，则求弦长4B的常用方法有： ①交点法：将直线1的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两点A,B的坐标，利用两 点间的距离公式得弦长，即4B=(x2x1)2+(y2一y1)2. ②公式法：在>0的前提下，若直线1的斜率k存在，则 B=a\vs4\al col (1+Ib e\(re\ x2-x1D))s\up12(2)) =1+k2s-出l =(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x21, 当直线1的斜率存在且不为零时， a\vs4 al\col (b\Ic\(\rc 4B=y2-y1)八s1p122)+1) =1k2y一%l rc)Aalvs4alcol(1+f(lk2)(yl fv2)2-4vly21: 若直线1的斜率不存在，则 4B=-y2=(y1+2)2-4yly2· 2.中点弦问题的解法 在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常 规思路有两种： (1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程， 利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解， (2)点差法：设出直线1与圆锥曲线C的交点坐标A(,),Bx2,2),代入圆锥曲线方 程，通过作差，构造出灯十，十y2,一，一之，从而建立弦的中点和直线的斜率的关 系 「基础自测 1.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的弦的中点坐标是( A.alvs4alcol(f(253) B.\aws4alcol(f(473) C.awvs4 aNcol(-f(213) D.\avs4 al\col(-\f(13172) 解析由y=x十1，x2+22=4消去y,得3x2+4x-2=0 设弦两端点的坐标为(1，)，(，2)， 中点坐标为中，y中)，则十2=一43， 所以x中=一23.从而y中=x中十1=-23十1=13， 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 所以中点坐标为avs4 alcol(一f213) 答案C 2.过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A, B两点，则AB=() A.3)3 B.23 c.6 D.43 解析由双曲线方程知，右焦点为(2,0)，直线x=2与渐近线y=±3x的交点A(2,23). B(2,-23),所以4B=43 答案D 3.(多选)已知椭圆x22十y2=1与直线y=x十m交于A,B两点，且4B=2)3,则实数m =() A.-1 B.-2 C.12 D.