第二章 教考衔接(4)——离心率的计算-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #教考衔接(4)—离心率的计算 一、真题展示 (2022全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且 关于y轴对称.若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C的离心率为() A.3)2 B.22 C.12 D.13 二、真题溯源 (教科书第170页复习题B组第25题) 已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为22，一个焦点F的坐标为(c,0)(c>0), 点M的坐标为avs4 alcol(yf10c-c,0),且IOF=2FMM (1)求椭圆的方程及离心率： (2)如果过点M的直线与椭圆相交于点P,Q两点，且OP⊥OQ,求直线PQ的方程， 三、解法探究 1.离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有： (I)通过已知条件列出方程组，解出a,c的值. (2)由a,b的关系求离心率e=b2a2(椭圆)或e=b2a2(双曲线) (3)由已知条件得关于a,c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程. (④)通过特殊值或特殊位置求离心率. (⑤)在焦点三角形内求离心率， 2.求离心率范围的方法 (1)通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围. (2)利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求离心率的范围，椭圆的焦半径PF∈ [a-c,a十c,双曲线中，当P与焦点同侧时PF≥c一a,异侧时PF≥c+a. 类型一借助焦点三角形计算离心率 例(1)已知F,F2分别是椭圆x2a2+2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A,B是以坐标 原点为圆心，以avs4 allcol(OF1)为半径的圆与该椭圆在y轴左侧的两个交点，且△F4B是 等边三角形，则该椭圆的离心率为( A.32 B.3-1 C.3+1 D.33 [自主解答]由题意可知，作出图形如图所示 ◆独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为FF2是圆O的直径，所以∠F1AF2=90°，即F1A⊥FA, 又△FAB是等边三角形，FF2⊥AB,所以∠AFF1=12∠AFB=30°， 在Rt△F4F2中，laws4 alcol1F1F2)=2c, lawvs4alcol(FIA)=12als4 allcol(FIF2)=c,alvs4 allcol(F2A)=3) 2aws4allcol(FIF2)= 3c, 根据椭圆的定义，得 2a=lalvs4alcol(FIA)+lalvs4allcol(F2A)=rc)(alvs4 allcol(1+r(3))c,a= aws4 alcol(f1+r(3)2))c, 所以椭圜的离心率为e=ca=crc)avs4 alcol0f(1+r(32)=3-1 [答案]B (2)设F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1rc)avs4 alcol(a>0,b>0)的左、右焦点， 过点F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为P,avs4 alcol(PFI)=6avs4 allcol(OP),O为 坐标原点，则双曲线E的离心率为() A.5 B.2 C.2 D,3 [自主解答]点F2rey(avs-4 alcol(c,0)到渐近线y=bx的距离aws4 alcol(PF2)= aws4\al col(f(bca)-0)1+\b\lcrcla))2=b(b>0), 而avs4acol(OF2=c,所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得laws4 alcol(OP)=c2- b2=a, 所以avs4 alcol(PF1)=6avs4 alcol1OP)=6a,在Rt△OPF2中，cos∠PF2O==bc, 在△FFP中，cos∠PFzO= aws4alcol(PF2))2++ blcrell(aws4alcol(FIF2))2- bc\rc(aws4allcol(PF1))22 bcrel(aws4 alcol(PF2))-b lcre(alvs4 alcol(FIF2))= b2+4c2-6a22b-2c, 所以bc=b2+4c2-6a24hc→3b2=4c2-6a2,则有31rc)avs4iaco1(c2-a2)=4c2-6a2, 解得ca=3(负值舍去)，即e=3,故远D. [答案]D ·独家授权侵权必究 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 类型二利用齐次方程计算离心率 例船(1)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上， AB,CD的中点为E的两个焦点，且24B=3BC,则E的离心率是 [自主解答]如图，由题意知