第二章 教考衔接(3)——与圆有关的最值问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #教考衔接(3)一一与圆有关的最值问题 一、真题展示 1.(2020全国1卷)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0.直线1：2X+y+2=0,P为 I上的动点，过点P作⊙M的切线PA.PB.切点为AB.当|PMI ABI最小时.直线AB 的方程为() A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 2.(2022·新高考全国1卷)设点A(-2.3).B(0.).若直线AB关干y=a对称的直 线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是」 二、真题溯源 (教科书第116页习题2一3B第5题) 求经过圆(x一2)2+y2=16内一点(1.1)且被圆截得弦长最短的值线的方程。 三、解法探究 与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类 型： (1)形如u=y一bx一a形式的最值问题.可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线的斜率的 最值问题 (2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=一abx+tb截距的最值问题， (3)形如(x一)2+(y-b)P形式的最值问题.可转化为动点(x,y)到定点(a.b)的距离的 平方的最值问题 求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几 何的性质求解。 类型一与距离有关的最值问题 例(1)从点P1.-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线.当切线长最短时. m的值为() A.-1 B.1 C.2 D.0 [自主解答]x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)}2+(y-12=1.圆心C(m.1). 半径为1， 切线长最短时.ICP列最小，ICP列=(m一1)2+9， 即当m=1时.|CP列最小.切线长最短 [答案】B (2)当直线/：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C:(x-1)2+(y-2)2=25 截得的弦最短时m的值为 [自主解答】直线/的方程可化为(2x+y-7)m+X+y-4=0.联立2x+y-7=0,x +y-4=0,) ·独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解得定点坐标为M3.1),圆心C为(1.2).当直线/与CM垂直时.直线被圆截得的 弦长最短.kcM=2-11-3=-12.k=-2m+1m+1(m≠-1)，所以kcMk,=1 a1s41al小co1(-1f12x1a1s41a/小co1(-1f2m+1m+1)=-1.解得m=-34. [答案】-34 类型二与面积有关的最值问题 例船已知直线：3x+4y+1=0.一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心 C到直线1的距离为3. (1)求圆的方程： (2)P是直线/上的动点，PE.PF是圆的两条切线，E,F分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值. [自主解答](1)圆与x,y轴正半轴都相切， 圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0). 圆心C到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式.得d=/3a+4a+1/八r(32+42) =3 解得a=2,,半径为2.圆的方程为(x一2)2+(y一2)2=4. (2)PE,PF是圆的两条切线，E,F分别为切点. '.△PCE=△PCF S四边形PEcr=2S△PcE,PE是圆的切线.且E为切点， ∴PE⊥CE,ICE=2,IPE2=IPCI2-ICEI2=IPCI2-4 ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小.即四边形PECF的面积最小.IPClmin即为C到I 的距离。 由(1)知|PClmini=3, .IPEl2min=32-4=5,PElmin=5. .S△PeE=121 ECI.IPE|=12×2×5=5. “四边形PECF面积的最小值为25 类型三利用几何意义解决与圆有关的最值问题 例已知点Px,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.求： (1)yx的最大值和最小值： (2)x2+y2+2x+3的最大值与最小值： (3)x+y的最大值与最小值. [自主解答]方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4 (1)yx表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图（甲）所示，显然PO(O为坐标原 点)与圆相切时，斜率最大或最小 设切线方程为y=kx(由题意知.斜率一定存在)，即kx一y=0.由圆心C(3,3)到切线 的距离等干半径2.可得/3k-3八r(k2+1)=2,解得k=14)5,所以yx的最大值为14) 5,最小值为14)5. ·独家授权侵权必究* 享学科网书城国 品牌书店·