2.6.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时双曲线方程及性质的应用 /课堂案关键能力·互动探究 /里规律·悟方法·聚养提开 题型一双曲线中的焦点三角形一题多变 例若F1,F2是双曲线x29-216=1的两个焦点.如图，若P是双曲线左支上的点， 且PF·PF=32,则△FPF2的面积为 [自主解答]双曲线的标准方程为x29-y216=1,故a=3,b=4,c=a2+b2=5 将PF2-PF=2a=6两边平方得PF2+PF2-2PF·PF2=36, 则PF2+PF2=36+2PF1·PF2=36+2×32=100. 在△F,PF2中，由余弦定理得cos∠FPF2=IPFI2+PF22-IF1F222 PFIPF2= 100-1002×32=0,且0°<∠FPF<180°，所以∠FPF,=90°，故S△m:=12 PF·PF=12×32=16. [答案]16 [母题变式] (变条件)将本例中的条件“PF·PF2=32”改为“∠FPF2=60°”，求△FPF2的面积. 解析由x29-y216=1得a=3,b=4,c=5 由双由线的定义和余孩定理得PF一PF=6, FFz2=|PF12+PF22-2 PFPF·cos60°， 所以102=(PF-PFzD2+PF·PF,所以PFl·PF2=64, 所以Sar,m:=12PF·1PF·sin∠FPF2=12X64×32=163, [规律方法] 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出PF-PF2=2a (2)利用余弦定理表示出PF1,PF2,FF2之间满足的关系式. (3)通过配方，利用整体的恩想求出PF·PF2的值. (④利用公式Sam,=12 PFPF,sn∠F,PE,求得面积. (⑤)双曲线焦点三角形面积常用S5△m,8=b202(∠F,PF2=) (⑤通径公式2b2a [触类旁通] 1.设F,F2是双曲线C:x29-y24=1的两个焦点，P为双曲线C上一点，若△PFFE2 ·独家授权侵权必究年 亨学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 是直角三角形，则△PF,F2的面积为 解析①当∠FPF2=90°时，双曲线C:x29-y24=1,.a=3,b=2 根据c=a2十b2=13,不妨设1PF>PF2, .PF1-PF2=2a=6,FF2=2c=213 PFR+PF2=(PF-PF2+2IPF PF2. 即FF22=(PF-PF2+2PFl·PF, 故(2132=62+2PFl·PF2, .PF1·PF=8,.S=12PF1·PF2=4 ②当∠PF1F2=90°时，根据双曲线通径公式可得PF1=b2a=43, ∴S=12PF1·FF=12×43×213=133同理，当∠PFF1=90°时，S=13)3 综上所述，△PFF2的面积为4或13)3 答案4或13)3 题型二共渐近线的双曲线方程的设法 例2 (1)求与双曲线y24一x23=1有共同的渐近线，且经过点M3,一2)的双曲线的标 准方程： (2)渐近线方程为y=±2)2x,且经过点A(4,2) [自主解答](1)设所求双曲线的方程为y24-x23=入（≠0） 点M3,一2)在双曲线上，∴44-93=元，即1=一2 .双曲线的标准方程为x26一y28=1 (2)由双曲线的渐近线方程为y=士2)2x,可设双曲线方程为22-y2=1≠0)， ,A(4,2)在双曲线上，∴.422-22=元，即1=4 ∴.所求双曲线的标准方程为x28一y24=1 [素养聚焦] 本例通过考查双曲线的渐近线的求法和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养. [规律方法] (1)与双曲线x2a2-y2b2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=(1≠0). (2)渐近线方程为+by=0的双曲线方程可设为a2x2一b2y2=(1≠0) [触类旁通] 2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线24一x22=1有相同的渐近线， 且经过点M(2,-2) (1)求双曲线C的方程： (②)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离. 解析(1)设双曲线C:y24-x22=1,把点(2，一2)，代入方程得，入=-12， 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.Com● 您身边的互联网+教辅专家 .双曲线C的方程为x2-y22=1. (2)由(1)知双曲线C:x2-y22=1,.a=1,b=2,c=3, ∴.实轴长为2a=2,离心率e=ca=3,设双曲线C的一个焦点为（一3,0），一条渐近线 方程为y=2x,∴d=3)×2川w2十1)=2，即焦点到渐近线的距离为2 题型三双曲线