2.5.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时 椭圆的几何性质的综合应用 /课堂案关键能力·互动探究 /里规律·悟方法·聚养提开 题型一椭圆中的最值问题 例处(1)若椭圆C:x24十23=1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大、最小值分别 为( ) A.3,1 B.2+3,2-3 C.2,1 D.3+1,3-1 [自主解答]由题意知a=2,b=3,所以c=4一3=1，所以距离的最大值为a十c=3, 距离的最小值为a一c=1, [答案]A (2)椭圆C:x225+y216=1,F,F是左、右焦点，点Q(2,2),点P为椭圆上一动点， 则PF1+PQ的最大值为 ， 最小值为 [自主解答]椭图C:x225+y216=1, ∴.a=5,b=4,c=3,.F1(-3,0),F(3,0) 如图所示，点Q在椭圆内部， ,点P为椭圆上的点，则PF十PF=2a=10,∴.PF=10-PF, ,PF1+PQ=PO1-PF+10,又PQ-PF≤IOF=5,∴.-5≤PQ-PF2≤5， 即PF+1P21∈[10-5,10+5 [答案]10+510-5 [规律方法] 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 (1)儿何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法，解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相 应曲线的定义及对称知识求解， (②)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再 根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值，常用方法有配方法、判别式法、均 值不等式法及函数的单调性法等， [触类旁通] 1.已知椭圆y2a2+x2=1rc)avs4 alcol(a>l)的离心率e=5)5,P为椭圆上的一个动点， 若定点Brc)avs4 alcol(-l,O,则avs4 al col(PB)的最大值为() ·独家授权侵权必究年 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 A.32 B.2 C.52 D.3 解析由题意可得a2-1a2=lams4alco1f2r5)5)2,据此可得 a2=5, 椭圍方程为y25+x2=1,设椭圆上，点的坐标为Prc)avs4 alcol,y以，则y2=5 rc(awvs4 alcol(1-x2), avs4alco1(PB)=buc\(rc)(awvs4allcol(x+1))2+y2= b crcy(awvs4 alcol(x:+1))2+5bllclrcy(alvs4alcol(1-x2))=-4x2+2x+6, 当x=14时，as4 alcol(PB)mm=52 答案C 题型二椭圆上的点到直线的距离问题 例☑己知椭圆x225+十y29=1,直线1：4x一5y十40=0.求椭圆上的点到直线1的最小距 离 [自主解答]如图，由直线1的方程与椭图的方程可以知道，直线1与椭圆不相交。设直 线m平行于直线I且与椭圆相切，则直线m的方程可以设成4x一5y十k=0① m 由方程组4x-5y十k=0,x2y29)=1消去y,得25x2+8a+k2-225=0② 令方程②的根的判别式4=0，得64k2-4×252-225=0③ 解方程③得%=25，或k2=-25 由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的切点到直线1的距离最近， 此时直线m的方程为4x一5y+25=0 直线m与直线1间的距离d=40-2542十（一5）2)=41)41，即为切点到直线1的距 离 所以所求最小距离是4)41 [规律方法] 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直 线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离，解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程 联立，消去（或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，利用直线与椭圆相切÷A=0解决问题. [触类旁通] ◆独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C:x216+y29=1上运动，则点P到直线x一y-5 =0的距离的最大值为 解析设直线x一y十m=0与椭圆x216十y29=1相切， 联解消去y,得25x2+32m+16m2-144=0, ∴.△=cahs4alco1(32m)2-4×25×rc)avs4alco1(16m2-144=0,解得m=5或 -5. ∴.与直线x一y一5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x一45=0， 其中与直线x-y-5=0距离较远的是x-y十5=0，且距离为d==10%2)=52, ∴.P到直线x-y-5=0的最大距离为52. 答案52 题型三椭圆的实