2.8 第2课时 直线与圆锥曲线位置关系的综合问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(课时作业)

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.xxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 /课后案学业评价·层级训练 /务基础·提技使·着养达成 [必备知识基础巩固] 1.在平面直角坐标系xOy中，设点F(1,0),直线：x=一1，点P在直线1上移动， R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP,PQ⊥1 (1)求动点Q的轨迹C的方程： (2)直线x=m十4与曲线C交于4，B两点，一·是否为定值？若是，求出该定值： 若不是，请说明理由. 解析(I)R是线段PF与y轴的交点，直线1和y轴平行，则R是线段PF的中点，如 图： -1 1 又RQ⊥FP,于是OR是线段PF的中垂线，即得QP=QF, 而PQ⊥，动点Q到点F的距离等于到直线1的距离，动点Q的轨迹是开口向右的抛 物线，F是焦点，1是准线，依题意动点Q不能与O重合， 故动点Q的轨迹C的方程y2=4 xrcynaws4-alco1:>0): (2)设Arcy(alvs.4 alcol(x1,yl),Bc)avs4 alcol2,y2,y1≠0,2≠0， 由x=my+4,y2=4数，得y2-4my16=0,则y+2=4m,2=一16， 则有.=十2=21y4·224+2=(-16)216+(-16=0, 所以·为定值0 2.己知圆M:x2+x)as4alco1-I)2=8,点Nrcy(alvs.4 alcol0,-1少，P是圆 M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q (1)求点Q的轨迹方程C; (2)若点A是曲线C上的动点，求·的最大值（其中O为坐标原点） 解析(1)圆M:x2+-1)2=8的圆心M(0,1),半径为=22， 由题意可知QM=|QP列，又点P是圆上的点，则PM=22, 且PM=PQ+1QM,则QM+1QM=22>2, ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，其中a=2,c=1,b=1, 则点Q的轨迹方程C:y22十x2=1: (2)设A rcynalvs4 alcol(x,y,则 =c)alvs4 alicolx,y), =1 rc)(alvs4alcol(-x,-1-y), 进而.=-x2+ywcV0as4alco1(-1y=-2-y2-y①. 又22+2=1，所以x2=1-122,将其代入①得.一=-122-y-1=-12 rcy(awvs4lallcol(y+1)2-12 由椭圆的有界性可知一2≤y≤2，所以当y=一1时，取最大值一12 3.已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0),短轴长为23，椭圆左顶点到 左焦点的距离为1 (1)求椭圆C的标准方程： (2)如图，已知点Pavs4alco123),0),点A是椭圆的右顶点，直线1与椭圆C交于 不同的两点E,F,E,F两点都在x轴上方，且∠APE=∠OPF证明直线I过定点，并求出 该定点坐标. 解析(1)由2b=2r(3a一c=1,a2-c2=b2,得b=r3a=2,c=1,所以椭圆C的标 准方程为x24十23=1。 (2)当直线1斜率不存在时，直线1与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合趣意. 所以直线1斜率存在，设直线1的方程为y=a十m, 设E1,h),F2,2),由fx2y23y=a+m得(3+4k2x2+8kx+4m2-12=0, 所以十x2=一8am3+4k2,x2=4m2-123+4k2 因为∠APE=∠OPF,所以kPE十kp=0, 即y123+y223=0,整理得2h1十avs4 alcol(m-f23k1十x2)-4m3=0, 化简得m=一6k, 所以直线1的方程为y=一6k=kx一6)， 所以直线1过定点(6,0)， 4.已知抛物线C的顶点是坐标原点O,而焦点是双曲线4x2-y2=1的右顶点 ·独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线1：y=x一2与抛物线相交于A,B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为 定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由 解析(1)双曲线4r2-y2=1化为标准形式：x214-y2=1,a2=14,a=12,右顶点A alvs4 alcol(f(12),0), 设抛物线的方程为y2=2r,焦点坐标为Favs4 alcol0p2,0, 由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以p=1, 所以抛物线C的方程为y2=2x: (2)联立y2=2x,y=x一2，)整理得y2-2y-4=0, 设Arcy(alvs-4 alcol(x1,yl),Bircy(alvs-4alco1e2,y2,则2=-4，h+2=2, ∴.k