专题06 全等模型-角平分线模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 例1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G．如果，，的面积为18，则的面积为（    ）    A．20 B．36 C．27 D． 例2．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    例4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如