2.2.3一元二次不等式的解法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.2.3一元二次不等式的解法 题型1一元二次不等式 3 ◆类型1一元二次不等式 4 ◆类型2一元二次不等式组 5 题型2含参一元二次不等式的解法 6 ◆类型1可以因式分解型 7 ◆类型2不能因式分解型 8 题型3分式不等式 8 题型4含参分式不等式求解 9 题型5实际问题 10 知识点一.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点四 .一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 2.求出相应的一元二次方程的根． 3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 注意：三个“二次”之间的关系 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 知识点五.解含参数的一元二次不等式的步骤 知识点六。分式不等式的解法 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式 (1) . (2). (3). (4). 注意：当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 题型1一元二次不等式 【方法总结】 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论． 3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的． ◆类型1一元二次不等式 【例题1-1】（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 【变式1-1】1. （2022秋·浙江台州·高一校联考期中）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】2. （2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】4. （2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】5. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶