2.2.4均值不等式及其应用-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.2.4均值不等式及其应用 题型1基本不等式取等条件的理解 3 题型2直接法 6 题型3形如型 7 题型4配凑法 8 ◆类型1对勾函数法 8 ◆类型2公式法 9 ◆类型3公式法 10 ◆类型4公式法 10 题型5“常数1”之分母是单项式 11 题型6“常数1”之分母是多项式 12 题型7和积可以化“1”型 13 题型8和积不可以化“1”型 14 题型9消元法 15 题型10分子代换消元 16 题型11齐次同除 17 题型12恒成立问题 17 题型13实际应用 18 知识点一.均值不等式的证明 方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图) 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 方法2：代数法 ∵，当时，； 当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）. 注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，,，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点二.均值不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点三.用均值不等式求最大（小）值 在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立. 知识点四.均值不等式的变形 均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件 a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R a2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b| 当且仅当a=b时等号成立 a,b同号 当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R (n>0) 当且仅当a=b时等号成立 题型1基本不等式取等条件的理解 【方法总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【例题1】（多选）（2023秋·高一课时练习）已知，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】1. （多选）（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【变式1-1】2. 2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3. （2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】4. （2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【变式1-1】5. （2021秋·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是 A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，