2.2.4 第1课时 均值不等式（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第二章　等式与不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 a＝b 正方形 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 大 x＝y 小 x＝y 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 第1课时　均值不等式 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 学业标准 素养目标 1．会推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义． 2．掌握均值不等式，明确等号成立的条件及利用均值不等式求最值．(重点) 3．会用均值不等式证明不等式．(难点) 1．通过均值不等式的推导，培养学生直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过均值不等式的应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1 均值不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ [提示]　正方形的边长AB＝ eq \r(a2＋b2) ，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 eq \r(a) ， eq \r(b) 分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ [提示]　用 eq \r(a) ， eq \r(b) 分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2 eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) . ◎结论形成 算术平均值 给定两个正数a，b，数 eq \f(a＋b,2) 称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数 eq \r(ab) 称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ，当且仅当________时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，__________的面积最大 导学2　利用均值不等式求最值 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ [提示]　x＋y＝8，由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up20(2) ≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大． 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ [提示]　xy＝16，由x＋y≥2 eq \r(xy) 得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小． ◎结论形成 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最_____值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值 eq \f(1,4) S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最_____值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值2 eq \r(P) . 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 成立的条件是相同的．(　　) (2)当a>0，b>0时a＋b≥2 eq \r(ab) .(　　) (3)当a>0，b>0时ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up20(2) .(　　) (4)函数y＝x＋ eq \f(1,x) 的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是(　　) A．a＋ eq \f(1,a) >2　　　　 B．a＋ eq \f(1,a) ≥2 C．a＋ eq \f(1,a) ≤－2 D． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) ≥2 解析　法一　当a<0时，a＋ eq \f(1,a) <0，选项A，B不成立；当a>0时，a＋ eq \f(1,a) >0，选项C不成立； eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) ＝|a|＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) ，由基本不等式可得选项D成立． 法二　取a＝－1时，a＋ eq \f(1,a) ＝－2，可判断选项A，B不正确； 取a＝1时，a＋ eq \f(1,a) ＝2，可判断选项C不正确； 因为a， eq \f(1,a) 同号， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) ＝|a|＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) ≥2， 当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确． 答案　D 3．已知x>0，若x＋ eq \f(81,x) 的值最小，则x为(　　) A．18 B．9 C．3 D．16 解析　因为x>0，所以x＋ eq \f(81,x) ≥2 eq \r(x·\f(81,x)) ＝18，当且仅当x＝ eq \f(81,x) ⇒x＝9时，等号成立． 答案　B 4．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 eq \r(xy) 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析　因为x>0，y>0，x＋y＝18， 所以 eq \r(xy) ≤ eq \f(x＋y,2) ＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立． 即 eq \r(xy) 的最大值是9. 答案　A 题型一　对均值不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．当a，b∈R时， eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a)) ＝2 B．若a<0，b<0，则 eq \f(a2＋b2,2) ≤ab C．当a>2时，a＋ eq \f(9,a) 的最小值是6 D．当a>0，b>0时， eq \f(2ab,a＋b) ≥ eq \r(ab) [解析]　A中，可能 eq \f(b,a) <0，所以不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即 eq \f(a2＋b2,2) ≥ab， 所以不正确； C中，当a>2时，a＋ eq \f(9,a) ≥2 eq \r(a·\f(9,a)) ＝6，当且仅当a＝ eq \f(9,a) ，即a＝3时等号成立，所以正确； D中，由均值不等式知， eq \f(2ab,a＋b) ≤ eq \r(ab) (a>0，b>0)，所以不正确． [答案]　C 均值不等式 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) (a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时， eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 的等号成立，即a＝b⇒ eq \f(a＋b,2) ＝ eq \r(ab) ； ②仅当a＝b时， eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 的等号成立，即 eq \f(a＋b,2) ＝ eq \r(ab) ⇒a＝b. [触类旁通] 1．(多选)下列结论不正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则 eq \f(4,x) ＋x≥4 B．当x>0时， eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2 C．当x≥2时，x＋ eq \f(1,x) 的最小值为2 D．当0<x≤2时，2x＋ eq \f(1,x) 的最小值为2 eq \r(2) 解析　对于选项A，当x<0时， eq \f(4,x) ＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时， eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2 eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x))) ＝2，当且仅当 eq \r(x) ＝ eq \f(1,\r(x)) ，即x＝1时等号成立． 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝ eq \f(1,x) ，则x＝1，不满足x≥2； 对于选项D，2x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(2x·\f(1,x)) ＝2 eq \r(2) ，当且仅当2x＝ eq \f(1,x) ，即x＝ eq \f(\r(2),2) 时，等号成立． 答案　AC 题型二　利用均值不等式求最值 题点多探　多维探究 角度1　利用均值不等式直接求最值 　一题多解 　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　　 B．25 C．9 D．36 (2)已知函数y＝4x＋ eq \f(a,x) (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值． (1)[解析]　法一　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up20(2) ＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. 法二　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， (1＋x)(1＋y)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f((1＋x)＋(1＋y),2))) eq \s\up20(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x＋y,2))) eq \s\up20(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2))) eq \s\up20(2) ＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. [答案]　B (2)[解析]　因为y＝4x＋ eq \f(a,x) ≥2 eq \r(4x·\f(a,x)) ＝4 eq \r(a) ， 当且仅当4x＝ eq \f(a,x) ，即4x2＝a时，y取得最小值． 又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. [素养聚焦]　逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 在利用均值不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． [触类旁通] 2．(1)当x>0时，x＋ eq \f(9,2x) 的最小值为(　　) A．3 B． eq \f(3,2) C．2 eq \r(2) D．3 eq \r(2) (2)已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab有(　　) A．最小值 eq \f(1,2) B．最大值 eq \f(1,2) C．最小值 eq \f(1,4) D．最大值 eq \f(1,4) 解析　(1)由x＋ eq \f(9,2x) ≥2 eq \r(x·\f(9,2x)) ＝3 eq \r(2) ，当且仅当x＝ eq \f(3\r(2),2) 时等号成立． 可得当x>0时，x＋ eq \f(9,2x) 的最小值为3 eq \r(2) . (2)由基本不等式知：ab≤ eq \f((a＋b)2,4) ＝ eq \f(1,4) ， 当且仅当a＝b时等号成立，即ab有最大值 eq \f(1,4) . 答案　(1)D　(2)D 角度2　拼凑法求最值　一题多解 　函数y＝ eq \f(x2－4x＋5,x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2))) 有(　　) A．最大值 eq \f(5,2) B．最小值 eq \f(5,2) C．最大值2 D．最小值2 [解析]　法一　∵x≥ eq \f(5,2) ，∴x－2>0，则 eq \f(x2－4x＋5,x－2) ＝ eq \f((x－2)2＋1,x－2) ＝(x－2)＋ eq \f(1,(x－2)) ≥2，当且仅当x－2＝ eq \f(1,x－2) ，即x＝3时，等号成立． 法二　令x－2＝t，∵x≥ eq \f(5,2) ，∴t≥ eq \f(1,2) ，∴x＝t＋2. 将其代入，原函数可化为y＝ eq \f((t＋2)2－4(t＋2)＋5,t) ＝ eq \f(t2＋1,t) ＝t＋ eq \f(1,t) ≥2 eq \r(t·\f(1,t)) ＝2，当且仅当t＝ eq \f(1,t) ，即t＝1时等号成立，此时x＝3. [答案]　D 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提． [触类旁通] 3．(1)(1)若a>－2，b>0，且a＋b＝8，则 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))b) 的最大值为________． (2)当x>0时， eq \f(12,x) ＋4x的最小值为__________． 解析　(1)因为a>－2，可得a＋2>0且b>0， 又因为a＋b＝8，可得(a＋2)＋b＝10， 则 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))b) ≤ eq \f((a＋2)＋b,2) ＝5，当且仅当a＋2＝b，即a＝3，b＝5时，等号成立，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))b) 的最大值为5. (2)因为x>0，所以 eq \f(12,x) >0，4x>0，所以 eq \f(12,x) ＋4x≥2 eq \r(\f(12,x)·4x) ＝8 eq \r(3) . 当且仅当 eq \f(12,x) ＝4x，即x＝ eq \r(3) 时取最小值8 eq \r(3) ， 所以，当x>0时， eq \f(12,x) ＋4x的最小值为8 eq \r(3) . 答案　(1)5　(2)8 eq \r(3) 题型三　利用均值不等式证明不等式 　已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－ eq \r(ab) － eq \r(bc) － eq \r(ac) ≥0. [证明]　∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2 eq \r(ab) ，b＋c≥2 eq \r(bc) ，a＋c≥2 eq \r(ac) ， ∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2( eq \r(ab) ＋ eq \r(bc) ＋ eq \r(ac) )， ∴a＋b＋c≥ eq \r(ab) ＋ eq \r(bc) ＋ eq \r(ac) ， 即a＋b＋c－ eq \r(ab) － eq \r(bc) － eq \r(ac) ≥0.(当且仅当a＝b＝c时，等号成立) 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型． [触类旁通] 4．已知a>0，b>0，求证： eq \f(a2,b) ＋ eq \f(b2,a) ≥a＋b. 证明　∵a>0，b>0，∴ eq \f(a2,b) ＋b≥2 eq \r(\f(a2,b)·b) ＝2a， eq \f(b2,a) ＋a≥2 eq \r(\f(b2,a)·a) ＝2b，∴ eq \f(a2,b) ＋b＋ eq \f(b2,a) ＋a≥2a＋2b， ∴ eq \f(a2,b) ＋ eq \f(b2,a) ≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立). 知识落实 技法强化 (1) eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) (a，b都是正数). (2)利用均值不等式求最值． (3)利用均值不等式证明． (1)在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式． (2)注意利用均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”． $$