2.2.2不等式的解集-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.2.2不等式的解集 题型1一元一次不等式(组）的解法 3 ◆类型1一元一次不等式 4 ◆类型2一元一次不等式组 4 题型2含参一元一次不等式(组）的解法 5 ◆类型1含参一元一次不等式 5 ◆类型2已知解集取值（范围问题） 6 ◆类型3有解问题 7 ◆类型4无解问题 7 ◆类型6整数解问题 8 题型3绝对值不等式 8 ◆类型1小于取中间大于取两边 9 ◆类型2零点分段法 10 ◆类型3平方法 11 题型4距离问题与中点问题 11 ◆类型1距离问题 11 ◆类型2中点问题 11 ◆类型3取值范围问题 12 题型5含参绝对值不等式 12 ◆类型1已知解集问题 12 ◆类型2充分（必要）结合问题 13 ◆类型3恒成立问题 13 ◆类型4有解问题 14 ◆类型5最值问题 14 ◆类型6含参整数解问题 14 题型6新定义 14 知识点一.不等式（组）的解集 1.不等式的解集：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2.不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 注意：解不等式的理论依据是：不等式的性质. 知识点二. 绝对值不等式 1.绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2.绝对值不等式的解集 不等式 m>0时不等式的解集 m<0时不等式的解集 m=0时不等式的解集 x|<m {x|-m<x<m} ∅ ∅ |x|>m {x|x>m或x<-m} R {x|x≠0且x∈R} 提升：(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 3.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； (2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|； (3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 注意： ①.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法. ②.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. ③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件. 4.绝对值不等式的几何意义 （1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB =|a-b| （2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标 （3） 绝对值不等式的几何意义. 不等式（m>0） 解集的几何意义 |x|<m 数轴上与原点的距离小于m的所有数的集合 |x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合 |x-b|<m 数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合 |x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义 （4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离. （5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题. 思考 注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。 题型1一元一次不等式(组）的解法 【方法总结】 1.一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）化成（或等）的形式（其中）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集． 2.解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集． ◆类型1一元一次不等式 【例题1-1】（2021秋·海南·高一海南二中校考阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【变式1-1】2. （2021·高一课时练习）不等式的负整数解有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是 . ◆