重庆市2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题

重庆市高三数学考试 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.已知,则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若数列的通项公式为,则 A.数列是首项为,公比为的等比数列 B.数列是首项为,公比为的等比数列 C.数列是首项为,公比为的等比数列 D.数列是首项为,公比为的等比数列 4.的展开式中,的系数为 A.-10 B.10 C.-40 D.40 5.牛皮鼓,又称堂鼓、喜庆鼓,多用于江南柌堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究,有数十道工序,包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉,每道工序都考验看手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮攱的㪗面直径为,豉身高度为,用平行于鼓面的平面截牛皮攱,所得截面圆的最大直径为.若将该牛皮㪗看成由两个相同的圆台拼接而成,忽略鼓面与鼓身的厚度,则该牛皮鼓的体积为 A. B. C. D. 6.若,则 A. B. C. D. 7.设曲线在处的切线为,若的倾斜角小于,则的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,且.直线与交于另一点,与轴交于点,若,则的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在毎小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.若函数,则 A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称 C. D.的图象关于点对称 10.有一组样本数据,其中任何两个数都不相等,现在删去其中一个数据.得到一组新数据,则下列判断正确的是 A.新数据的极差可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C.若新数据的平均数等于原数据的平均数.则新数据的方差大于原数据的方差 D.若新数据的平均数等于原数据的平均数,则新数据的分位数小于原数据的分位数 11.已知定义在上的函数满足,定义在上的函数满足,则 A.不是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 12.如图,在三棱锥中,平面平面,则 A.三棱锥的体积为 B.点到直线的距离为 C.二面角的正切值为 D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若双曲线的焦距为6,实轴长为2,则该双曲线的虚轴长为 . 14.在矩形中,为对角线的交点,为上一点,且向量在向量上的投影向量为,则 . 15.已知圆与圆内切,且圆与直线相切,则圆的圆心的轨迹方程为 . 16.已知,则当取得最大值时, . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵. 17.(10分) 如图,在正方体中,为的中点,. (1)证明:平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值的平方. 18.(12分) 在中,. (1)若,求的长; (2)若为延长线上一点,为边上一点,且,求的面积. 19.(12分) 艾伦-麦席森-图灵提出的图灵测试,指测试者与被测试者在隔开的情况下,通过一些装置(如键盘)向被测试者随意提问.已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者,每名测试者向一台机器(记为)和一个人(记为)各提出一个问题,并根据机器和人的作答来判断谁是机器,若机器能让至少一半的测试者产生误判,则机器通过本轮的图灵测试.假设每名测试者提问相互独立,且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同,而每名测试者有的可能性会向和问同一个题.当同一名测试者提出的两个问题相同时,机器被误判的可能性为.当同一名测试者提的两个问题不相同时,机器被误判的可能性为. (1)当回答一名测试者的问题时,求机器被误判的概率; (2)按现有设置程序,求机器通过本轮图灵测试的概率. 20.(12分) 已知为数列的前项和,. (1)证明:. (2)求的通项公式. (3)若,求数列的前项和. 21.(12分) 已知抛物线经过点,直线与交于两点(异于坐标原点). (1)若,证明:直线过定点. (2)已知,直线在直线的右侧,与之间的距离交于两点,试问是否存在,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 22.(12分) 已知函数. (1