第9章 第8节 二项分布、超几何分布与正态分布（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八节　二项分布、超几何分布与正态分布 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 4.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.了解正态分布的均值、方差及其含义. 1．n重伯努利试验与二项分布 n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验 二项分布 设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)； 在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n, p) 2．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (2)超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝，则E(X)＝＝np. 3．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响： ①当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； ②当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． (5)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (6)3σ原则： ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. (1)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (2)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． (3)在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小． (4)超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝·n. 1．(北师大版选择性必修①P215·T1改编)在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　 ) A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05) C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95) 解析：选B　有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相当于10重伯努利试验，所以X～B(10，0.05)． 2．(人教A版选择性必修③P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　 ) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 3．(人教A版选择性必修③P78·例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝. 答案： 4．(苏教版选择性必修②P140·T3改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________. 答案：0.954 5．(人教A版选择性必修③P76·T1改编)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝________. 解析：因为E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×12p－3＝5，解得p＝，所以D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12××＝24. 答案：24 考法一　n重伯努利试验与二项分布 角度1　n重伯努利试验的概率 [例1]　 (1)(2023·南通模拟)某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为(　 ) A