第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列、数字特征（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第七节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 1．随机变量 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量 字母表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z 2．分布列的概念与性质 定义 一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列 表示方法 ①表格；②概率分布图 性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1 3．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 4．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (2)方差和标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． 6．两点分布 若随机变量X的分布列如表所示， X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确． 1．(人教A版选择性必修③P60·T2(1)改编)(多选)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　 ) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 答案：AB 2．(人教A版选择性必修③P66·T1改编)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________. 解析：E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案： 3．(人教B版选择性必修②P73·T3改编)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为 X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是________． 答案：0.55 4．(人教A版选择性必修③P70·T2改编)随机变量X的可能取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得解得p＝，q＝，∴D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝. 答案： 5．已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________. 解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3， ∴P(X＝2)＝＝. 答案： 考法一　离散型随机变量分布列的性质(自主练通) 1．(2023·宿迁模拟)袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　 ) A．5 B．9 C．10 D．25 解析：选B　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B. 2．(2023·西南大学附中模拟)已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1, 2, 3, …，10)，则实数a＝________. 解析：依题意，P(X＝n)＝a，由分布列的性质得P(X＝n)＝a＝＝