第10章 第2节 用样本估计总体（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　用样本估计总体 1．中位数、众数、平均数、百分位数 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (2)众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． (3)平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)百分位数 ①第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． ②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 2．样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么： 平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)， 标准差为 s＝， 方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 1．平均数的性质 (1)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b. (2)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是. (3)若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是和，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是＋. 2．方差的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性． 1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是(　 ) A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．平均数＝中位数＝众数 答案：D 2．已知四个数1,2,4，a的平均数为4，则这四个数的中位数是________． 解析：由题意可得＝＝4， 解得a＝9，则中位数为＝3. 答案：3 3．(人教A版必修②P203·例2改编)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________． 解析：因为75%×20＝15，所以第75百分位数为＝14.5. 答案：14.5 4．已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据2x1＋3,2x2＋3，…，2x10＋3的平均数和方差分别为________． 答案：7,12 5．某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量(单位：克)的频率分布直方图如图所示，则该物质含量的众数的估计值为____________，平均数的估计值为__________． 解析：根据频率分布直方图得出众数落在第三组[80,90)内，所以众数为＝85.含量在[60,70)之间的频率为0.1；含量在[70,80)之间的频率为0.2；含量在[80,90)之间的频率为0.4，根据概率和为1，可得含量在[90,100)之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.3＝84. 答案：85　84 考法一　百分位数的估计(自主练通) 1．(2023·南通模拟)“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多．某班50名学生到图书馆借书数量统计如下： 借书数量(单位：本) 5 6 7 8 9 10 频数(单位：人) 5 8 13 11 9 4 则这50名学生的借书数量的上四分位数(第75百分位数)是(　 ) A．8 B．8.5 C．9 D．10 解析：选C　由50×75%＝37.5，故第75百分位数是借书数量从小到大排序后的第38人，又5＋8＋13＋11＝37＜38＜5＋8＋13＋11＋9＝46，故上四分位数(第75百分位数)是9.故选C. 2．某小组九名学生在一次数学测验中的得分(单位：分)如下：83,84,86,86,87,88,90,93,96，这九人成绩的第70百分位数是k.若在该小组随机选取两名学生，则得分一个比k高，另一个比k低的概率为(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　因为9×0.7＝6.3，第70百分位数是从小到大的第七位数