第10章 第3节 成对数据的统计分析（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　成对数据的统计分析 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 4.理解2×2列联表的统计意义.了解2×2列联表独立性检验及其应用. 1．变量的相关关系 定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系 正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关 2．样本相关系数 计算公式 r＝.r为变量x和变量y的样本相关系数 样本相关系数r的特征 ①r∈[－1,1]． ②当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关． ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 3．经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)． 当a，b的取值为时，Q＝(yi－bxi－a)2达到最小．将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 提醒：经验回归直线一定过点(，)． 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示. X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 则χ2＝. (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用经验回归直线过样本点的中心(，)． (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． (3)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 1．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　 ) A．回归分析 B．均值与方差 C．独立性检验 D．概率 解析：选C　“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 2．(人教A版选择性必修③P103·T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　 ) 答案：D 3．(苏教版选择性必修②P156·例2改编)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现的A，B两变量有更强的线性相关性(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：D 4．(人教A版选择性必修③P132·例3改编)下面是2×2列联表： y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 则表中a，b的值分别为________，________. 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74. 答案：52　74 5．(苏教版选择性必修②P187·T6改编)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.95x＋，则＝________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 解析：∵回归直线必过样本点的中心(，)，又＝2，＝4.5，代入经验回归方程，得＝2.6. 答案：2.6 考法一　一元线性相关关系的判断(自主练通) 1．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论正