第8章 第12节 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第十二节　圆锥曲线中的证明、存在性问题　　　　　　　 [典例]　(2023·邹平模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有|PF1|＝4，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点(2,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q(8,0)，求证：∠MQO＝∠NQO. [解]　(1)在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，＝，4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)， 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12，则椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：当直线斜率为0时，易知∠MQO＝∠NQO成立， 当直线斜率不为0时，设直线l方程为x＝ty＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，消去x得(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0，y1＋y2＝，y1y2＝，kMQ＋kNQ＝＋＝＝＝0， 所以∠MQO＝∠NQO. 综上可知，总有∠MQO＝∠NQO. [方法技巧] 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　 [针对训练] (2023·衡水期末)若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”． (1)求椭圆C2的方程； (2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 解：(1)由椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝，设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，且b＝， 因为两个椭圆“相似椭圆”，可得e＝＝，解得a2＝12， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. (2)证明：不妨设P(m，n)，其中n>0，则＋＝1，可得m2＝6－， 把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以Hm, ， 所以kA1H＝，kPA2＝， 所以kA1H·kPA2＝×＝＝－＝－＝－1. 所以A1H⊥PA2. [典例]　(2023·咸阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A，点F(1,0)为椭圆C的右焦点，过点F与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆C的方程； (2)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由题意，解得 所以椭圆方程为＋y2＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l为x＝ty＋1(t≠0)， 联立直线与椭圆方程得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ>0恒成立， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝，而|MP|＝|MQ|，即＝， 化简得(x－x)－2m(x1－x2)＋(y－y)＝0，又x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1且y1－y2≠0， 所以(y1＋y2)＝＝2m－2，化简得m＝且t≠0， 所以m的取值范围为. [方法技巧] 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．　　 [针对训练] (2023·无锡高三开学考试)设F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点F且与x轴不重合的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)当＝2时，求||； (2)在x轴上是否存在异于F的定点Q，使为定值(其中kQA，kQB分别为直线QA，QB的斜率)？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 又因为＝2，所以解得m2＝，|y1|＝＝， 所以||＝|y1|＝，即||＝. (2)假设在x轴上存在异于点F的定点Q(t,0)(t≠1)，使得为定值． 由(1)知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以y1＋y2＝2my1y2. 所以＝＝＝＝＝ ＝. 要使为定值，则＝，解得t＝2或t＝1(舍去)，此时＝－1. 故在x轴上存在异于F的定点Q(2,0)，使得为定值． $$