第9章 第2节 排列与组合（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　排列与组合 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 1．关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 2．应用排列与组合解题时的注意点 (1)元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． (2)①排列数与组合数之间的联系为CA＝A. ②排列问题与分步乘法计数原理问题的区别：排列要从“n个不同的对象中取出m个对象”，即在排列问题中，对象不能重复选取，而在分步乘法计数原理中，对象可以重复选取． (3)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏． (4)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏． 1．(人教A版选择性必修③P26·T4(2)改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　 ) A．12 B．24 C．64 D．81 答案：B 2．(湘教版选择性必修①P180·T5改编)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种． 答案：60 3．(人教A版选择性必修③P27·T12(2)改编)由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成________个没有重复数字，并且比5 000 000大的正整数． 答案：1 440 4．(苏教版选择性必修②P77·例5)房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有________种不同的方法． 答案：31 5．(湘教版选择性必修①P186·T5)某公司为员工制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M，N为必选城市，并且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有________种． 答案：600 考法一　排列问题(自主练通) 1．(2023·武汉模拟)火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有(　 ) A．C种 B．A种 C．53种 D．35种 解析：选B　火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，所以不同的停放方法有A种．故选B. 2．(2022·济南二模)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有(　 ) A．60个 B．48个 C．36个 D．24个 解析：选C　先排个位，然后排万位，再排其他位置，所以由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有2×3×A＝36个．故选C. 3．(2023·长沙模拟)甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为(　 ) A．240 B．192 C．96 D．48 解析：选B　丙在正中间(4号位)；甲、乙两人只能坐12,23或56,67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有A种情况；剩下的4个位置其余4人坐有A种情况．故不同的坐法的种数为4AA＝192.故选B. 4．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　 ) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：选B　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种，故选B. [一“点”就过] 1．解有限制条件的排列问题的关键 分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2．常见排列数的求法 (1)相邻问题采用“捆绑法”． (2)不相邻问题采用“插空法”． (3)有限制元素采用“优先法”． (4)特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除