第9章 第3节 二项式定理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数为C，C，…，C 2.二项式系数的性质 (1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． (3)二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的． 1．(人教A版选择性必修③P31·T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　 ) A．C B．－C C．C D．－C 答案：D 2．(人教B版选择性必修②P32·例2改编)9的展开式中x3的系数为(　 ) A．84 B．－84 C．36 D．－36 答案：B 3．(人教A版选择性必修③P34·T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　 ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 答案：D 4．(湘教版选择性必修①P193·T2(2)改编)二项式－12的展开式的中间一项为________． 答案：924 5．(人教A版选择性必修③P38·T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 答案：1 考法一　求二项展开式中的特定项或特定项系数(自主练通) 1．(2023·青岛模拟)在6的展开式中，常数项为(　 ) A．80 B．－80 C．160 D．－160 解析：选D　由于x，互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为Cx33＝20×(－8)＝－160，故选D. 2．(2023·福州模拟)(2x－y)6的展开式中，x2y4项的系数是(　 ) A．30 B．－30 C．60 D．－60 解析：选C　由题意Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝4时，x2y4项的系数是15×4＝60，故选C. 3．(2023·南通模拟)在6的二项展开式中，奇数项的系数之和为(　 ) A．－365 B．－364 C．364 D．365 解析：选D　6的展开式通项为Tk＋1＝C·k＝C·(－2)k·x－k，因此，展开式中所有奇数项的系数和为C＋C·(－2)2＋C·(－2)4＋C·(－2)6＝365.故选D. 4．(2023·武汉模拟)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　 ) A．2 B． C．1 D． 解析：选B　二项式7展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx7－rr＝Carx7－2r.又展开式中的系数是84，即7－2r＝－3⇒r＝5.所以Ca5＝84，解得a＝，故选B. [一“点”就过] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1.　　 考法二　二项式系数的性质与各项系数的和 角度1　二项式系数的和 [例1]　(1)(2023·临沂模拟)在二项式n的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　 ) A．－32　 B．－1　　C．1　 D．32 (2)(2023·深圳模拟)(多选)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(　 ) A．a0＝28 B．a1＋a2＋…＋a8＝1 C．|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38 D．a1＋2a2＋…＋8a8＝－8 [解析]　(1)∵二项式系数的和是32，则2n＝32，∴n＝5，令x＝1，则展开式中各项系数的和为(－1)5＝－1，故选B. (2)因为(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，则a0＝28，故A正确；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2－1)8＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B错误；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38－28，故C错误；对