第9章 第6节 事件的相互独立性、条件概率（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六节　事件的相互独立性、条件概率 1．相互独立事件 概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 2.条件概率 (1)条件概率的计算公式 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝； ②公式法：P(B|A)＝ (2)条件概率的性质：设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ④设和B是互斥事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． (3)概率的乘法公式 由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝.我们称该公式为全概率公式． 1．易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 2．易混淆P(B|A)与P(A|B) 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 3．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． 1．(人教A版必修②P253·T3改编)天气预报表明在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　 ) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 解析：选C　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 2．甲、乙两选手进行围棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制(前两局各有胜负则进行第三局)，则甲最终获胜的概率为(　 ) A．0.72 B．0.704 C．0.604 D．0.648 解析：选D　由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜输胜，输胜胜，故甲获胜的概率为P＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.648. 3．(湘教版选择性必修②P109·例1改编)若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是________． 答案： 4．(苏教版选择性必修②P144·T2改编)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，则P(B)＝________. 解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5. 答案：0.5 考法一　相互独立事件 角度1　相互独立事件的判断 [例1]　(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　 ) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 [解析]　由题意知P(甲)＝，P(乙)＝×＋×＝，P(丙)＝××5＝，P(丁)＝××6＝.P(甲∩丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故A项错误；P(甲∩丁)＝×＝＝P(甲)P(丁)，故B项正确；P(乙∩丙)＝×＝≠P(乙)P(丙)，故C项错误；P(丙∩丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故D项错误．故选B. [答案]　B [方法技巧] 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．　　 角度2　相互独立事件的概率 [例2]　面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求： (1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． [解]　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题