第8章 第7节 抛物线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第七节　抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ (1)设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦(即焦点弦)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①x1x2＝，y1y2＝－p2； ②|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； ③＋＝； ④焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|； ⑤通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦； ⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切； ⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上，即以焦点弦AB为直径的圆与准线相切． (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)． 1．(北师大版选择性必修①P71·T1(1)改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　 ) A．y2＝－6x B．y2＝－12x C．x2＝－6y D．x2＝－12y 答案：D 2．(人教A版选择性必修①P135·思考改编)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为(　 ) A．y2＝－x B．x2＝y C．y2＝x D．x2＝－y 答案：AB 3．(苏教版选择性必修①P104·T5改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________． 答案： 4．(人教B版选择性必修①P165·T2改编)抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0距离最小的点P的坐标为________． 答案：(1,1) 5．(北师大版选择性必修①P75·T1改编)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________ 答案：8 考法一　抛物线的定义及其应用 [典例]　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D．3 (2)(2023·襄阳测试)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析]　(1)法一：由题意可知F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，由抛物线的定义可知|AF|＝＋1，又|BF|＝3－1＝2，由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)，不妨取A(1,2)，故|AB|＝＝2，故选B. 法二：由题意可知F(1,0)，|BF|＝2，所以|AF|＝2，抛物线通径为4，所以|AF|＝2为通径的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝＝2，故选B. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案]　(1)B　(2)4 [方法技巧] 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．　　 [针对训练] 1．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　 ) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 解析：选B　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 2．已知点Q(2，