第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．基本事实1～3 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.三个推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可得以下推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 共面直线 ①相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)基本事实4和定理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4．异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． (1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． (2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． (3)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．(人教A版必修②P128·T2改编)(多选)下列命题是假命题的是(　 ) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：BCD 2．(人教A版必修②P131·T1改编)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　 ) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 答案：D 3．(苏教版必修②P178·T1改编)直线l与平面α不平行，则(　 ) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 答案：C 4．(人教A版必修②P132·T9改编)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　 ) A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C．EF∥CD D．EF与AB是异面直线 解析：选ABC　把展开图还原成正方体，如图所示，还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A、B、C正确，EF与AB相交，故D错． 5．(人教A版必修②P132·T5改编)三个平面最多能把空间分为____部分，最少能把空间分成____部分． 答案：8　4 考法一　平面的基本性质及其应用 [典例]　如图，四边形ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH＝AD，DG＝CD. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG必相交且交点在直线BD上． [证明]　(1)连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，DH＝AD，DG＝CD； 所以EF∥AC，HG∥AC， 所以EF∥HG，所以E，F，G，H四点共面． (2)易知HG＝AC，又EF＝AC，所以HG≠EF， 结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形， 因此直线EH，FG不平行． 设它们交点为P，P∈EH，所以P∈平面ABD，同理P∈FG，所以P∈平面BCD， 又平面ABD∩平面BCD＝BD， 因此P∈BD，即EH，FG必相交且交点在直线BD上． [方法技巧]　共面、共线、共点问题的证明 证明共面的方法 ①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． ②证两平面重合 证明共线的方法 ①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． ②直接证明这些点都在同一条特定直线上 证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 [针对训