第7章 第5节 空间直线、平面的垂直（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　空间直线、平面的垂直 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题. 1．直线与平面垂直 (1)定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的范围 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)三种垂直关系的转化 1．(人教A版必修②P162·T2改编)(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　 ) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 答案：BD 2．(人教A版必修②P159·T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　 ) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：D 3．(苏教版必修②P183·T3改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对. 答案：7 4．(湘教版必修②P173·T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________. 答案：45° 5．(人教A版必修②P152·T4改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案：(1)外　(2)垂 考法一　直线与平面垂直的判定与性质 角度1　直线与平面垂直的判定 [例1]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点． (1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF. (2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1-ADF的体积． [解]　(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.由题意，可知C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∠B1C1F＝∠FCD＝90°，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.又AD⊥B1F，AD，FD⊂平面ADF，且AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF. (2)由(1)知AD⊥平面B1DF，CD＝1，AD＝2，在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝＝.因为FD⊥B1D，所以Rt△CDF∽Rt△BB1D，所以＝，即DF＝×＝，所以V＝V＝S×AD＝××××2＝. 角度2　直线与平面垂直的性质 [例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. [证明]　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴A