第7章 第4节 空间直线、平面的平行（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　空间直线、平面的平行 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题. 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) 因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”) 因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (4)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (6)三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向． 1．(北师大版必修②P222·T2改编)下列命题中正确的是(　 ) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案：D 2．(苏教版必修②P167·T4改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　 ) 答案：A 3.(人教A版必修②P139·T2改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略)，在△BDD1中，点E，O分别是DD1，BD的中点，则EO∥BD1，又因为EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案：平行 4．(人教A版必修②P138·例3改编) 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 的形状为________． 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形． 答案：平行四边形 考法一　直线与平面平行的判定与性质 角度1　直线与平面平行的判定 [例1]　如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2AB，PD＝AD＝AB，点E是棱PC上一点，且CE＝2PE.证明：PA∥平面BDE. [证明]　连接AC交BD于点O，连接EO，如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，则有＝＝，而CE＝2PE， 因此＝，于是得PA∥EO，又EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以PA∥平面BDE. 角度2　直线与平面平行的性质 [例2]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝，E是A1C1边的中点，过A，B，E作截面交B1C1于点D.求证：DE∥AB. [证明]　在直三棱柱ABC-A1B1C1中， 因为AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂ 平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，又AB⊂平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE＝DE，所以DE∥AB. [方法技巧] 线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．　　 [针对训练] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱PC