第7章 第7节 向量法求空间角（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第七节　向量法求空间角 1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序. 2.体会向量法在研究空间角问题中的作用. 空间向量与空间角 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ 二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ [0，π] 两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角； 设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝ (1)最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. (2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. (3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同． 1．(人教B版选择性必修①P36·T3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　 ) A. B． C. D． 答案：C 2．(人教A版选择性必修①P38·T1改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为________. 答案： 3．(苏教版选择性必修②P49·T1改编)已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 解析：设直线l与α所成角为θ，sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，又∵θ∈，∴θ＝. 答案： 4．(北师大版选择性必修①P134·T2改编)已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为________． 解析：＝. 答案： 考法一　异面直线所成的角 [典例]　(1)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与NB所成角的正切值为(　 ) A. B．1 C. D． [解析]　在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，设棱长为2，以A为坐标原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A1(0,0,2)，M(，1,1)，B(，1,0)，N(0,1,0)，所以＝(，1，－1)，＝(－，0,0)．设异面直线A1M与BN所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，所以tan θ＝.所以异面直线A1M与BN所成角的正切值为.故选C. (2)(2023·新余模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　 ) A. B． C. D． [解题微点] 切入点 建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解 关键点 建立适当的空间直角坐标系，准确求出和的坐标 [解析]　因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD， 因为四边形ABCD为正方形，可得AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，如图分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则PA＝2，可得B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，F(1,1,1)，E(1,2,0)，所以＝(－1,1,1)，＝(1,2，－2)，所以cos〈，〉＝＝＝－，设异面直线BF与PE所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝，所以sin θ＝＝＝，故选A. [答案]　A [方法技巧] 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．　　 [针对训练] 1．(2023·