第7章 第8节 空间距离（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八节　空间距离 空间向量与距离 直线外一点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝＝ 平面外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝＝ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．(人教B版选择性必修①P61·T4改编)已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　 ) A. B．1 C. D．2 解析：选A　∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝. 2．(人教B版选择性必修①P61·T3改编)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝＝. 3．(人教A版选择性必修①P35·T3改编)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,1)，所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，则即解得故m＝(1,1,1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________． 解析：因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝. 答案： 方法一　几何法求空间距离 [典例]　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为(　 ) A．4 B．2 C．2 D． (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面正三角形ABC的边长为1，侧棱AA1长为2，则点B1到平面A1BC的距离为(　 ) A. B． C. D． [解析]　(1)如图，连接C1B，则由长方体性质得MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1. ∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2. ∴MN与平面BCC1B1的距离为2. 在正三角形ABC中，D为AB中点， 则CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB， ∴CD⊥平面ABB1A1，即h＝CD＝1×sin 60°＝， [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 利用几何法求空间距离的策略 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．　　 [针对训练] 1.(2023·北京丰台高三期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱A1B1的中点，则点E到平面BC1D1的距离为(　 ) A. B． C. D． 2.(2023·太原高三期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为(　 ) A. B． C. D．2 解析：选C　因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE.在直角三角形ABD中，由等面积法可得AE＝＝＝＝. 方法二　向量法求空间距离 角度1　点到直线的距离 [例1]　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，E，O， 因为＝，u＝＝， 取a＝＝， 所以a2＝，a·u＝－