第7章 第9节 立体几何中的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第九节　立体几何中的综合问题 [典例]　(2023·泰安模拟)条件①：图1中tan 2B＝－.条件②：图1中＝＋.条件③：图2中三棱锥A-BCD的体积最大． 从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答． 如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90° (如图2)，点E，M分别为棱BC，AC的中点． (1)求证：CD⊥ME； (2)已知________，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求平面BMN与平面CBN夹角的余弦值． [解]　(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD， ∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB. 又∵M，E分别为AC，BC的中点， ∴ME∥AB，∴CD⊥ME. (2)方案一：选①，在题图1所示的△ABC中，由tan 2B＝－＝，解得tan B＝2或tan B＝－(舍去)．设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tan B＝＝＝2，解得x＝2，∴BD＝1.以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0，1,1)，E，则＝(－1,1,1)．设N(0，a,0)，则＝.∵EN⊥BM，∴·＝0，即·(－1,1,1)＝0，解得a＝，∴N，∴当DN＝(即N是CD的靠近D的一个四等分点)时，EN⊥BM.设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，且＝，由得令x＝1，则n＝(1,2，－1)．取平面CBN的一个法向量m＝(0,0,1)，则|cos〈m，n〉|＝＝＝，∴平面BMN与平面CBN夹角的余弦值为. 方案二：选②，在题图1所示的△ABC中，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又∵＝＋，由平面向量基本定理知λ＝，即BD＝1.以下解法同方案一． 方案三：选③，在题图1所示的△ABC中，设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x，∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝3－x.折起后AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BCD，又∠BDC＝90°，∴S△BCD＝x(3－x)，VA-BCD＝AD·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝(x3－6x2＋9x)，x∈(0,3)，令f(x)＝(x3－6x2＋9x)，f′(x)＝(x－1)(x－3)，当0<x<1时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0，∴x＝BD＝1时，三棱锥A-BCD的体积最大．以下解法同方案一． [方法技巧] 解决空间角与翻折相结合的问题的关键 一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．　　 [针对训练] 如图①，平面四边形ABCD为正方形，E为BC的中点，F为CD的中点．将△CEF沿线段EF折起，使得平面CEF⊥平面ABEFD，得到如图②所示的五棱锥C-ABEFD. (1)在图②中，证明：BD∥平面CEF； (2)在图②中，求平面ACD与平面BCD夹角的正弦值． 解：(1)证明：在题图①中，连接BD，因为BE＝CE，DF＝CF，所以EF∥BD.在题图②几何体中，EF∥BD，EF⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，所以BD∥平面CEF. (2)取EF的中点O，连接OC.由CF＝CE，可知OC⊥EF.又因为平面CEF⊥平面ABEFD，所以OC⊥平面ABEFD.连接OA与BD相交于点M，由正方形的性质可知OA⊥BD，又由EF∥BD，可知OA⊥EF，所以OE，OC，OA两两垂直，故以O为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．令OE＝1，有OM＝1，AM＝DM＝BM＝2，可得各点坐标O(0,0,0)，E(0,1,0)，B(1,2,0)，D(1，－2,0)，A(3,0,0)，C(0,0,1)．设平面BCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，由＝(0,4,0)，＝(－1,2,1)，有取x＝1，y＝0，z＝1，可得m＝(1,0,1)．设平面ACD的一个法向量为n＝(a，b，c)，由＝(－3,0,1)，＝(－1,2,1)，有取a＝1，b＝－1，c＝3，可得n＝(1，－1,3)．由m·n＝4，|m|＝，|n|＝，有cosm，n＝＝，故平面ACD与平面BCD夹角的正弦值为 ＝. [典例]　(2022·临汾二模)如图，在半径为的半球O中，平行四边形ABCD是圆O的内接四边形，AD＝AB，点