第8章 第1节 直线与方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八章 平面解析几何 第一节　直线与方程 1．直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180° 2．斜率公式 定义式 直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率k＝tan_α，当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在 坐标式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 3．直线的方向向量与斜率的关系 定义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k) 关系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ 4．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线 1．倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． 2．谨记以下2个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 1．(人教A版选择性必修①P58·T7改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　 ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 答案：A 2．(人教A版选择性必修①P66·T1改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　 ) A.x－3y＋4＝0 B．x－y＋2＝0 C.x－3y＋2＝0 D．x－y＝0 答案：A 3．(苏教版选择性必修①P13·T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　 ) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：选D　因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．(湘教版选择性必修①P59·例1改编)已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3)，则AB的斜率为________，BC的倾斜角为________． 答案：　 5．(人教A版选择性必修①P67·T1改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________________． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 考法一　直线的倾斜角与斜率(自主练通) 1．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　 ) A．k1<k2<k3 B．k1<k3<k2 C．k2<k1<k3 D．k3<k2<k1 解析：选A　由斜率的定义可知，k1<k2<k3.故选A. 2．(2023·临沂蒙阴一中月考)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　 ) A．[0，π] B． C. D．∪ 解析：选C　由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈. 3．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　 ) A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 解析：选D　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤. 4．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为________． 解析：由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝＋(－)＝0. 答案：0 [一“点”就过] (1)求倾斜角的取值范围的