第8章 第3节 圆的方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　圆的方程 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 (1)点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 (2)点M(x0，y0)，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 理论依据 由圆的标准方程情形转化而来 三种情况 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0⇔点在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0⇔点在圆内 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．谨记常用结论 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： (1)当F＝0时，圆过原点． (2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． (3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． (4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 1．(湘教版选择性必修①P89·T4改编)圆x2＋y2＋8x－16y＋16＝0的圆心坐标和半径是(　 ) A．(4,8)，8 B．(－4,8)，10 C．(－4，－8)，64 D．(－4,8)，8 答案：D 2．(苏教版选择性必修①P52·例1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　 ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 答案：D 3．(人教B版选择性必修①P106·T3改编)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－1,1) 　 B．(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　 D．{－1,1} 答案：A 4．(苏教版选择性必修①P56·T3改编)已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是____________________． 答案：x2＋y2－x－3y＝0 5．(北师大版选择性必修①P30·T3改编)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________． 解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 由题意可得解得 所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20. 答案：(x－1)2＋y2＝20 考法一　圆的方程(自主练通) 1．(2023·武汉模拟预测)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，所以22＋42－4a>0，解得a<5，所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件．故选B. 2．(2023·重庆南开中学模拟)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　 ) A．x2＋y2＋4x－2y＋7＝0 B．x2＋y2－8x－2y－9＝0 C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0 D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0 解析：选B　由题意，圆心(4,1)，圆的直径为＝2，半径为，所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0，故选B. 3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为__________． 解析：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 4．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 解析：若圆过(0,0)，(4,0)，(－1,1)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F>0，所以过这