第8章 第5节 椭 圆（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　椭　圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，且e∈(0,1) c2＝a2－b2 (1)设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则 ①b≤|OP|<a； ②a－c<|PF1|<a＋c. (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴． (3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴． (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． (5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； ④S△PF1F2＝b2·tan . (6)椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆． (7)轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置．依据这些条件确定的椭圆方程可能有2个． 1．(北师大版选择性必修①P55·T2改编)椭圆＋＝1的离心率是(　 ) A. B． C. D． 答案：B 2．(人教A版选择性必修①P109·T1改编)如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________． 答案：4 3．(苏教版选择性必修①P80·T8改编)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. 答案：4或8 4．(人教B版选择性必修①P135·T2改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等腰直角三角形，则这个椭圆的标准方程是________． 答案：＋＝1 5．(人教A版选择性必修①P109·T3改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为______，△AF1F2的周长为________． 答案：20　16 考法一　椭圆的标准方程 [典例]　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________． [解析]　(1)由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.所以椭圆的方程为＋＝1. [答案]　(1)B　(2)＋＝1 [方法技巧]　求椭圆标准方程的2种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点的位置可写出椭圆方程 待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B) [针对训练] 1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　 ) A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确 解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝