第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2．圆与圆的位置关系 设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 公切线条数 4 3 2 1 0 1．牢记3个相关结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 3．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝.　 (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 4．求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系． (1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； (2)若点在圆外，切线应有两条； (3)若点在圆内，切线为零条． 1．(苏教版选择性必修①P61·T1改编)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 解析：选D　圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D. 2．(苏教版选择性必修①P61·T2改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－3，－1) B．(－1,3) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：选D　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴圆心到直线的距离为＞ ，即|a＋1|＞2，解得a＜－3或a＞1.故选D. 3．(人教A版选择性必修①P98·T3改编)直线y＝x被圆C：x2＋y2－2x＝0截得的线段长为(　 ) A．2 B． C．1 D． 解析：选C　圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝x的距离为d＝＝，弦长为2·＝1，故选C. 4．(人教A版选择性必修①P98·T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 答案：内切 5．(苏教版选择性必修①P66·T6改编)若圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋2ay－3＝0(a>0)的公共弦的长为4，则a＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2－4x＋2ay－3)－(x2＋y2)＝0－9⇒2x－ay－3＝0，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝1⇒a＝. 答案： 考法一　直线与圆位置关系的判断(自主练通) 1．(2023·长沙模拟)若直线y＝x与圆(x－a)2＋y2＝2(a>0)相切，则a＝(　 ) A. B．2 C．3 D．2 解析：选A　因为圆心坐标为(a,0)，半径为，所以该圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，结合a>0，解得a＝.故选A. 2．(2023·滨州模拟)已知直线l：(m2＋m＋1)x＋(3－2m)y－2m2－5＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则直线l与圆C的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 解析：选D　直线l：(m2＋m＋1)x＋(3－2m)y－2m2－5＝0，即(x－2)m2＋(x－2y)m＋(x＋3y－5)＝0，由解得因此，直线l恒过定点A(2,1)，又圆C：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，显然点A在圆C外，所以直线l与圆C