第8章 第6节 双曲线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六节　双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. (5)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. (6)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 1．双曲线－y2＝1的实轴长为(　 ) A．4 B．2 C．2 D．2 解析：选D　由题知，a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D. 2．(北师大版选择性必修①P68·T3改编)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得＝.故选A. 3．(人教A版选择性必修①P121·T3改编)已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(人教A版选择性必修①P121·T1(3)改编)已知双曲线的焦点为F1(0，－6)和F2(0,6)，且经过点A(2，－5)，则该双曲线的标准方程是________． 答案：－＝1 5．(苏教版选择性必修①P99·T8改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝. 答案： 考法一　双曲线的标准方程 [典例]（1）已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　 ) A.－＝1(y>0) B．－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D．－＝1(x>0) (2)(多选)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　 ) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [解析] （1）由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)． （2）由题意，设双曲线方程为－＝1(m≠0)，又2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，则m＝2；当m<0时，－m＝4，则m＝－4.故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. [答案] （1）B（2）AB [方法技巧]　求双曲线的标准方程的方法 定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程 待定系数法 先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值 [针对训练] 1．(2023·襄阳五中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>