第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0， 由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有个公共点． (2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线． 当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·. 圆锥曲线中的中点弦的有关结论 设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点，O为坐标原点： 标准方程 结论 ＋＝1(a＞b＞0) kAB·kOM＝－ ＋＝1(a＞b＞0) kAB·kOM＝－ －＝1(a＞0，b＞0) kAB·kOM＝ －＝1(a＞0，b＞0) kAB·kOM＝ y2＝2px(p≠0) kAB＝(y0为M的纵坐标) x2＝2py(p≠0) kAB＝(x0为M的横坐标) 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C. 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A. 3．(北师大版选择性必修①P80·T1改编)直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　 ) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 4．(人教A版选择性必修①P135·例4改编)已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A，B两点，则线段AB的长为________． 答案： 5．(人教A版选择性必修①P138·T5改编)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝. 答案： 考法一　直线与圆锥曲线的位置关系 (自主练通) 1．过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选D　双曲线方程为－＝1，当k不存在时，直线为x＝4，与－＝1的图象有且只有一个公共点，当k存在时，直线为y＝k(x－4)＋4，代入双曲线的方程可得(9－16k2)x2＋(128k2－128k)x－256k2＋512k－400＝0，若9－16k2＝0，k＝±时，y＝±(x－4)＋4与双曲线的渐近线y＝±x平行，所以与双曲线只有1个公共点，k≠±时，Δ＝(128k2－128k)2＋4(9－16k2)(256k2－512k＋400)＝0，即k＝，此时直线y＝(x－4)＋4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P(4,4)且与该双曲线只有一个公共点的直线有4条． 2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　 ) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 解析：选B　设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条． 3．(2023·邯郸模拟)(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 解析：选BCD　联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2)．对A，令Δ＝12(8－