第6章 第4节 数列求和（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　数列求和 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.　　 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 1．分组转化法求和：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n∈N*，数列{bn}是等差数列，且b1＝a2，b3＝a2＋a3＋a4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. [解题微点] 切入点 (1)根据an＋1＝2an可判断{an}是等比数列，进而根据等差和等比数列基本量的计算即可求解通项公式． (2)根据分组求和法即可求解 障碍点 确定等差数列的公差和等比数列的公比并用求和公式求解 [解]　(1)因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n∈N*，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，由b1＝a2＝2，b3＝a2＋a3＋a4＝2＋4＋8＝14，得解得d＝6，所以bn＝b1＋(n－1)d＝6n－4，即数列{bn}的通项公式为bn＝6n－4. (2)由(1)可知cn＝an＋bn＝2n－1＋6n－4，所以数列{cn}的前n项和Sn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[2＋8＋…＋(6n－4)]＝＋＝2n＋3n2－n－1. [方法技巧]　利用分组转化法求和的3个关键点 会“列方程” 会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会“用公式” 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会“分组求和” 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 [针对训练] (2023·大理模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，＝an＋1－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Cn＝求数列{Cn}的前2n项和T2n. 解：(1)因为＝an＋1－1，所以2Sn＝nan＋1－n，　① 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)，　② ①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－1，即nan＋1－(n＋1)an＝1，所以－＝＝－，所以－＝－，由a2＝3，可得an＝2n－1，当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1. (2)由题意得，T2n＝(C1＋C3＋…＋C2n－1)＋(C2＋C4＋…＋C2n)＝＋＝(4n－1)＋2n2＋5n，所以T2n＝(4n－1)＋2n2＋5n. 裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． [典例]　(2023·衡水模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝18，a7＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设an＝log2(bn＋1)，求数列前n项和Tn. [解题微点] 切入点 (1)设公差为d，根据等差数列的通项公式及前n项和公式得到方程组，解得a1，d，即可求出通项公式； (2)由指数和对数的关系得到bn＝2n＋2－1，从而得到＝，利用裂项相消法求和即可 障碍点 把裂为两项 [解]　(1)设公差为d，由S4＝18，a7＝9，即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由an＝log2(bn＋1)，即log2(bn＋1)＝n＋2，所以bn＋1＝2n＋2，即bn＝2n＋2－1，所以＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋＝＝. [方法技巧] 利用裂项相消法求和时，要注意检验裂项前后是否等价，还要注意求和时正负相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．　　 [针对训练] (2023·济南一模)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n≥2时，由Sn＝n2，得Sn－1＝(n－1)2，则an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，有S1＝a1＝1，符合上式．综上，an＝2n－